โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

เหตุใดการโปรแกรมพลวัตจึงไม่ช่วยเร่ง merge sort ได้จริง

  1. AMerge sort ไม่มีโครงสร้างแบบเรียกซ้ำ
  2. Bการโปรแกรมพลวัตใช้ได้กับปัญหากราฟเท่านั้น ไม่ใช่กับอาร์เรย์
  3. Cปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
  4. DMerge sort เป็น O(n) อยู่แล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส NP ถูกต้อง

  1. Aปัญหาที่ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้
  2. Bปัญหาที่ไม่ใช่พหุนาม
  3. Cปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
  4. Dปัญหาที่แก้ในเวลาพหุนามไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

extract-min ใน min-heap ทวิภาคทำงานอย่างไร

  1. Aค้นหาใบทั้งหมดเพื่อหาค่าต่ำสุดใหม่
  2. Bลบสมาชิกสุดท้ายของอาร์เรย์
  3. Cย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
  4. Dลบรากและเลื่อนสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Amax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
  2. Bmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
  3. Cคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
9131414110476ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ครึ่งของ merge sort ไม่ซ้อนกันและแต่ละส่วนถูกแก้ครั้งเดียว DP ช่วยเฉพาะเมื่อปัญหาย่อยเกิดซ้ำ เช่น ฟีโบนักชี

คำตอบ

C · ปัญหาย่อยของมันไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่มีอะไรให้ใช้ซ้ำ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับปัญหา NP คำตอบที่เสนอ (ใบรับรอง) ตรวจได้อย่างรวดเร็ว เช่น การตรวจว่าการกำหนดค่าที่ให้มาทำให้สูตรบูลีนเป็นจริง

คำตอบ

C · ปัญหาการตัดสินใจที่คำตอบ "ใช่" ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีใบรับรอง
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกสุดท้ายเติมช่องว่างที่ราก และสลับกับลูกที่เล็กกว่าจนคุณสมบัติฮีปเป็นจริง ใช้ O(log n)

คำตอบ

C · ย้ายสมาชิกสุดท้ายไปที่รากและเลื่อนลง (sift down)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

A · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 11

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 23 = 2(L + 7) − 2
L = 11

คำตอบ

L = 11

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 27

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 9
C (9): B: 22, E: 23
B (22): D: 36, G: 29
E (23): D: 24, F: 27
D (24)
F (27)
G (29)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 27

คำตอบ

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms