ระบบเลข
- ค่าประจำตำแหน่ง
- ฐานสอง 2k, ฐานแปด 8k, ฐานสิบหก 16k
- เป็นเลขฐานสิบ
- Σ dk·bk
- จากเลขฐานสิบ
- หารด้วยฐาน อ่านเศษจากล่างขึ้นบน
- ฐานสิบหก ↔ ฐานสอง
- เลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก = 4 บิต
- two’s complement
- กลับบิตแล้วบวก 1
อิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
- เกตพื้นฐาน
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- กฎของพีชคณิตแบบบูล
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- กฎของเดอมอร์แกน
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- ลำดับของแผนที่คาร์โนห์
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- กลุ่มของ 2ᵏ เซลล์
- สูญเสีย k ตัวแปร
- มัลติเพล็กเซอร์ 4 ต่อ 1
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- ฟลิปฟล็อป
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- ตัวนับ
- n บิต: 2ⁿ สถานะ; มอด N: n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- ตัวนับริปเปิล
- fmax = 1/(n·tpd)
- ตัวนับริงและตัวนับจอห์นสัน
- n และ 2n สถานะ
วิธีการ
- สำหรับวงจร ให้ทำจากอินพุตไปถึงเอาต์พุตทีละเกตและเขียนค่าบนทุกเส้น หรือเขียนนิพจน์ของมันแล้วเติมตารางค่าความจริง
- สำหรับการทำให้ง่าย ให้ใส่ 1 (และค่าไม่สนใจเป็น X) ลงในแผนที่คาร์โนห์ที่มีแถวและคอลัมน์เรียงตามรหัสเกรย์: 00, 01, 11, 10
- ครอบคลุม 1 ด้วยกลุ่ม 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ให้น้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยพันข้ามขอบ แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณที่ประกอบด้วยตัวแปรที่คงที่ จัดกลุ่ม 0 สำหรับรูป POS
- สำหรับฟลิปฟล็อปและตัวนับ ให้อ่านอินพุตที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกาแต่ละขอบ เขียนสถานะหลังทุกขอบ และจำไว้ว่าตัวนับ n บิตวนกลับหลัง 2ⁿ สถานะ
การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่ม
- เกณฑ์ไนควิสต์
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- ความถี่แอลลิอัส
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- ขนาดขั้น
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- ความคลาดเคลื่อนจากการควอนไทซ์ (ปัดเศษ)
- ±½ LSB
- รหัส ADC แบบตัดทิ้ง
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- จำนวนบิตสำหรับความละเอียด r
- 2ᴺ ≥ span/r
- SQNR ในอุดมคติ ไซน์เต็มสเกล
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- อัตราข้อมูล
- ช่อง × fs × N บิต/วินาที
- ADC แบบมัลติเพล็กซ์
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/baud; 8N1 = 10 บิตต่อไบต์; ไบต์/วินาที = baud/บิตต่อเฟรม
- ตัวหารอัตราบอด
- baud = fclk/(16·D)
วิธีการ
- เขียนสิ่งที่โจทย์ให้: อัตราการสุ่ม ความถี่ของสัญญาณ จำนวนบิต ช่วงอินพุต อัตราบอด
- สำหรับโจทย์การสุ่ม ให้เปรียบเทียบแต่ละความถี่กับ fs/2 ความถี่ที่สูงกว่าจะปรากฏที่ fa = |f − k·fs| โดยใช้พหุคูณของ fs ที่ใกล้ที่สุด
- สำหรับโจทย์ความละเอียด หา 1 LSB = VFSR/2ᴺ หรือ N ที่น้อยที่สุดที่ 2ᴺ ≥ ช่วง/ความละเอียด
- สำหรับอัตราข้อมูลและลิงก์ UART ให้นับทุกอย่างที่ส่ง: ช่อง จำนวนตัวอย่างต่อวินาที บิตหรือไบต์เต็มต่อตัวอย่าง และบิตเริ่ม บิตพาริตี และบิตหยุดของทุกเฟรม
2โจทย์ฝึก
1.ระบบเลขปานกลาง
รูปแบบ 8 บิต 1100 1011 เก็บจำนวนเต็มมีเครื่องหมายแบบ two's complement ค่าของมัน N ในเลขฐานสิบคือเท่าใด
1100 10118 bit
N =
2.ระบบเลขยาก
ภาพที่ไม่บีบอัดมีขนาด 800 × 600 พิกเซล และมี 32 บิตต่อพิกเซล ใช้หน่วยความจำ M เท่าใด ในหน่วย KiB (1 KiB = 1024 ไบต์)
800 × 600 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปปานกลาง
ใช้แผนที่คาร์โนห์หารูปผลคูณของผลบวก (POS) ที่น้อยที่สุดของ F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15) มีกี่พจน์ผลบวก (ตัวประกอบ) N
F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15)
N =
4.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อปยาก
ตัวนับมอด-9 แบบซิงโครนัสนับ 0, 1, …, 8 แล้ววนกลับเป็น 0 เริ่มที่ 7 หลังพัลส์นาฬิกา 18 พัลส์ จะแสดงค่านับ Q (เป็นเลขฐานสิบ) เท่าใด
Q0 = 718N = 9
Q =
5.การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่มปานกลาง
จงหาอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนจากการควอนไทซ์ในอุดมคติ SQNR ของ ADC 10 บิต สำหรับคลื่นไซน์เต็มสเกล
N = 10
SQNR = dB
6.การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่มยาก
คลื่นสี่เหลี่ยม 800 Hz ถูกสุ่มที่ 2 kHz โดยไม่มีฟิลเตอร์ป้องกันแอลลิอัส คลื่นสี่เหลี่ยมมีฮาร์มอนิกคี่ 3f₁, 5f₁, 7f₁, … ฮาร์มอนิก 3f₁ ของมันปรากฏในข้อมูลที่ถูกสุ่มที่ความถี่ fa ใด จงตอบในหน่วย Hz
f₁ = 800 Hzfs = 2 kHzฮาร์มอนิก: 3f₁
fa = Hz
3สารละลาย
1.ระบบเลข
คำตอบ: N = −53
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บวกค่าประจำตำแหน่ง
บิตอื่นยังคงมีค่าเป็นบวกตามปกติ
−128 + 64 + 8 + 2 + 1 = −53
คำตอบ
N = −53
2.ระบบเลข
คำตอบ: M = 1875 KiB
ระบบเลขตามตำแหน่ง: แต่ละหลักมีค่าเท่ากับค่าของหลักนั้นคูณกำลังของฐาน ในเลขฐานสองแต่ละตำแหน่งมีค่า 1, 2, 4, 8, 16, …; ในเลขฐานสิบหก 1, 16, 256, … โดย A–F แทน 10–15 ในระบบ two's complement 8 บิต บิตซ้ายสุดมีค่า −128 แทนที่จะเป็น +128 ซึ่งเป็นวิธีเก็บจำนวนลบ
บิตและไบต์
800·600·32 = 15360000 bit = 1920000 B
แปลงเป็น KiB
1920000/1024 = 1875 KiB
คำตอบ
M = 1875 KiB
3.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: N = 3
แผนที่คาร์โนห์: เซลล์เรียงตามรหัสเกรย์ (00, 01, 11, 10) ดังนั้นเซลล์ที่อยู่ติดกัน รวมถึงเซลล์ที่อยู่ตรงข้ามขอบ ต่างกันเพียงตัวแปรเดียว จัดกลุ่ม 1 เป็นสี่เหลี่ยมที่มี 1, 2, 4, 8 หรือ 16 เซลล์ ให้ใหญ่ที่สุดและมีจำนวนกลุ่มน้อยที่สุดจนครอบคลุมทุก 1 แต่ละกลุ่มคือหนึ่งพจน์ผลคูณ: ตัวแปรที่คงที่ภายในกลุ่ม กลุ่มที่มี 2ᵏ เซลล์สูญเสียตัวแปรไป k ตัว ค่าไม่สนใจ (X) ใช้เพื่อทำให้กลุ่มใหญ่ขึ้นได้ แต่ไม่จำเป็นต้องถูกครอบคลุม การจัดกลุ่ม 0 แทนจะได้รูป POS ที่น้อยที่สุด
จัดกลุ่ม 0
ทุกกลุ่มเป็นสี่เหลี่ยมของ 2ᵏ เซลล์ เซลล์ที่ขอบเป็นเพื่อนบ้านของเซลล์ที่ขอบตรงข้าม
(B + C)
(A′ + B + D)
(A + B′ + C′)
รูป POS ที่น้อยที่สุด
F = (B + C)(A′ + B + D)(A + B′ + C′)
N = 3
คำตอบ
N = 3
4.ตรรกะดิจิทัล: เกต แผนที่คาร์โนห์ และฟลิปฟล็อป
คำตอบ: Q = 7
ฟลิปฟล็อปและตัวนับ: ฟลิปฟล็อปเปลี่ยนค่าเฉพาะที่ขอบแอ็กทีฟของสัญญาณนาฬิกา D คัดลอกอินพุต (Q⁺ = D); T สลับค่าเมื่อ T = 1; JK คงค่าสำหรับ 00 รีเซ็ตสำหรับ 01 เซตสำหรับ 10 และสลับค่าสำหรับ 11 ตัวนับฐานสอง n บิตมี 2ⁿ สถานะและนับมอดูโล 2ⁿ ตัวนับมอด N นับ 0, 1, …, N − 1 แล้ววนกลับเป็น 0 และต้องใช้ฟลิปฟล็อปจำนวน n ที่น้อยที่สุดที่ 2ⁿ ≥ N แต่ละภาคของตัวนับริปเปิลลดความถี่ลงครึ่งหนึ่ง ดังนั้นเอาต์พุตสุดท้ายของตัวนับมอด N ทำงานที่ fclk/N ตัวนับจอห์นสันที่มีฟลิปฟล็อป n ตัวมี 2n สถานะ ตัวนับริงมี n
รอบเต็ม
ทุก 9 พัลส์ทำให้ตัวนับกลับสู่สถานะเดิม
18 = 2·9 + 0
ค่านับหลังพัลส์ที่เหลือ
Q = (7 + 0) mod 9 = 7
Q = 0111₂
คำตอบ
Q = 7
5.การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่ม
คำตอบ: SQNR = 61.96 dB
ความละเอียดของ ADC: ตัวแปลง N บิตแบ่งช่วงเต็มสเกล VFSR เป็น 2ᴺ รหัส จาก 0 ถึง 2ᴺ − 1 หนึ่งขั้นคือ 1 LSB = VFSR/2ᴺ ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เล็กที่สุดที่ตัวแปลงแสดงได้ ADC แบบตัดทิ้งให้รหัส ⌊Vin/LSB⌋ ส่วน ADC แบบปัดเศษห่างจากค่าจริงไม่เกิน ½ LSB ซึ่งเป็นความคลาดเคลื่อนจากการควอนไทซ์ของมัน ทุกบิตที่เพิ่มทำให้ LSB ลดครึ่งหนึ่งและเพิ่มอัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนจากการควอนไทซ์ในอุดมคติประมาณ 6 dB โดย SQNR = 6.02·N + 1.76 dB สำหรับไซน์เต็มสเกล เพื่อให้ได้ความละเอียด r ตลอดช่วงหนึ่ง ให้เลือก N ที่น้อยที่สุดที่ 2ᴺ ≥ ช่วง/r
SQNR ในอุดมคติ
SQNR = 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB
คำตอบ
SQNR = 61.96 dB
6.การได้มาซึ่งข้อมูลและการสุ่ม
คำตอบ: fa = 400 Hz
การสุ่ม: ADC วัดสัญญาณ fs ครั้งต่อวินาที ตามทฤษฎีบทไนควิสต์–แชนนอน ความถี่ f ถูกจับได้ถูกต้องก็ต่อเมื่อ f < fs/2 ซึ่งเป็นความถี่ไนควิสต์ (ความถี่พับ) ดังนั้นอัตราการสุ่มต้องเกินสองเท่าของความถี่สัญญาณสูงสุด ความถี่ที่สูงกว่าไม่ได้หายไป: มันปรากฏเป็นแอลลิอัสที่ fa = |f − k·fs| โดยจำนวนเต็ม k ทำให้ผลลัพธ์อยู่ระหว่าง 0 ถึง fs/2 ตัวอย่างแยกทั้งสองไม่ออก ดังนั้นฟิลเตอร์ป้องกันแอลลิอัสแบบแอนะล็อกต้องกำจัดทุกอย่างเหนือ fs/2 ก่อนเข้า ADC
ความถี่ของฮาร์มอนิก
3f₁ = 3·800 Hz = 2.4 kHz
พหุคูณของอัตราการสุ่มที่ใกล้ที่สุด
m = round(1.2) = 1
ความถี่แอลลิอัส
fa = |2400 − 1·2000| = 400 Hz
คำตอบ
fa = 400 Hz
แอลลิอัสตกอยู่ในแถบสัญญาณ ซึ่งฟิลเตอร์ดิจิทัลกำจัดไม่ได้ มีเพียงฟิลเตอร์แอนะล็อกก่อน ADC เท่านั้นที่ช่วยได้
ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics