พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์: ΣI_in = ΣI_out
กระแสสาขา: I = (V_a − V_b)/R
โหนดอ้างอิง: V_ground = 0

วิธีการ

เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (V_a − V_b)/R
แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R2 ผ่าน R₂

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง

ใช้การวิเคราะห์โนดหากำลัง P_Is ที่แหล่งกำเนิดกระแส I_s จ่าย

V₁ = 6 VI_s = 5 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

P_Is = W

4.การวิเคราะห์โหนดยาก

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา กระแส I_R4 ผ่าน R₄ ในทิศทางตามลูกศร

V₁ = 9 VI_s = 1.5 AV₂ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 30 Ω

I_R4 = A

5.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

ต่อโหลด R_L = 2 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 2 Ω

I_L = A

6.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 4 Ω คร่อม a–b ใช้วงจรสมมูลเทวินินเพื่อหากำลัง P_L ที่จ่ายให้โหลด

V₁ = 15 VI_s = 6 AR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 4 Ω

P_L = W

7.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

แหล่งกำเนิด Vₛ ประจุตัวเก็บประจุผ่าน R₁ และ R₂ ต่อขนานกับ C ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุเมื่อสวิตช์ปิดที่ t = 0 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงจรหลังสวิตช์ปิด

V_s = 24 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 100 µF

τ = ms

8.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 24 V ตามขั้วที่แสดง ใช้เวลานานเท่าใดให้ v_C ถึง 18.3 V หา t

V_s = 5 VR = 6.8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 50 V (rms) 60 Hz จงหาตัวประกอบกำลัง cos φ ของวงจร

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

cos φ =

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 120 V (rms) 500 Hz หาความถี่เรโซแนนซ์ f₀ ของวงจร

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

11.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 230 V: โหลด 25 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.75 แบบตามหลัง และ โหลด 19 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 แบบนำ จงหากระแสรวม I ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 230 VP₁ = 25 kW, pf₁ = 0.75 ล้าหลังP₂ = 19 kW, pf₂ = 0.8 แบบนำ

I = A

12.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

แหล่งกำเนิด 24 V (rms) 50 Hz มีอิมพีแดนซ์ภายใน Z_s = 50 + j6 Ω เลือกอิมพีแดนซ์โหลด Z_L ได้อย่างอิสระ จงหากำลังจริงสูงสุด P_max ที่ส่งให้โหลดได้

V_s = 24 V (rms)f = 50 HzZ_s = 50 + j6 Ω

P_max = W

13.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดสามเฟสสมดุลดึงกระแสสาย 60 A จากแหล่งจ่ายที่มีแรงดันสาย–สาย 208 V ตัวประกอบกำลังคือ 0.75 ล้าหลัง หากำลังจริงรวม P ที่โหลดใช้ใน kW

V_L = 208 VI_L = 60 Acos φ = 0.75

P = kW

14.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 200 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 690 V (สาย–สาย) 60 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม ตัวเก็บประจุต่อแบบ Δ หาความจุ C_ph ของตัวเก็บประจุแต่ละตัวใน µF

P = 200 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

15.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

หม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 20:1 ป้อน 4600 V ที่ขดลวดปฐมภูมิ ต่อตัวต้านทาน 30 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิ หากระแสปฐมภูมิ I₁

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 4600 VR_L = 30 Ω

I₁ = A

16.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 75 kVA มีการสูญเสียในแกน 375 W และการสูญเสียในทองแดง 1125 W ที่โหลดพิกัด ที่โหลดเท่าใด S_η,max ใน kVA ประสิทธิภาพจึงสูงสุด

S = 75 kVAP_core = 375 WP_cu,fl = 1125 W

S_η,max = kVA

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R2 = 1.087 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 15 + 8 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3.407 Ω

R_eq = R₁ + 3.407 = 6 + 3.407 = 9.407 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 12/9.407 = 1.276 A

กระแสผ่าน R₂

ลบแรงดันตกคร่อม R₁ เพื่อให้ได้แรงดันที่โหนด A ซึ่งเป็นแรงดันคร่อม R₂

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.276·6 = 4.346 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.346/4 = 1.087 A

คำตอบ

I_R2 = 1.087 A

2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 2.086 A

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 9.143 Ω

R₂ ∥ 9.143 = 5.189 Ω

R_eq = R₁ + 5.189 = 2 + 5.189 = 7.189 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.189 = 2.086 A

คำตอบ

I_R1 = 2.086 A

3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: P_Is = 109.5 W

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/20 + (V_A − 6)/20 + (V_A − V_B)/4 = 0

0.35·V_A − 0.25·V_B = 0.3

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/6 + (V_B − V_A)/4 = 5

−0.25·V_A + 0.4167·V_B = 5

แก้สมการ

Δ = (0.35)(0.4167) − (−0.25)(−0.25) = 0.08333

V_A = Δ₁/Δ = 1.375/0.08333 = 16.5 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.825/0.08333 = 21.9 V

กำลังที่แหล่งกำเนิดกระแสจ่าย

แหล่งกำเนิดดัน Iₛ ขึ้นเข้าสู่โนด B จากกราวด์ (0 V) ไปยัง V_B แหล่งกำเนิดที่กระแสออกจากขั้ว + จ่ายกำลัง P = V·I

P_Is = V_B·I_s = 21.9·5 = 109.5 W

คำตอบ

P_Is = 109.5 W

4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: I_R4 = 1.747 A

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V₁ = 9 V, V₂ = −6 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: V_A, V_B

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/25 + (V_A − 9)/8 + (V_A − V_B)/6 = 0

0.3317·V_A − 0.1667·V_B = 1.125

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/30 + (V_B − V_A)/6 + (V_B − (−6))/5 = 1.5

−0.1667·V_A + 0.4·V_B = 0.3

แก้สมการ

Δ = (0.3317)(0.4) − (−0.1667)(−0.1667) = 0.1049

V_A = Δ₁/Δ = 0.5/0.1049 = 4.767 V

V_B = Δ₂/Δ = 0.287/0.1049 = 2.736 V

คำตอบ

I_R4 = (V_B − V₂)/R₄ = (2.736 − −6)/5 = 1.747 A

5.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = 0.3261 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4.286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.286 + 20 = 24.29 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(15+6) = 8.571 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 8.571/(24.29 + 2) = 0.3261 A

6.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: P_L = 93.24 W

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4.8 + 4 = 8.8 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 6·4.8 = 37.8 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 37.8 + 6·4 = 61.8 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 61.8/(8.8 + 4) = 4.828 A

P_L = I_L²·R_L = 4.828²·4 = 93.24 W

7.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: τ = 166.2 ms

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ลัดวงจรแหล่งกำเนิดเพื่อหา R_th เปิดวงจรตัวเก็บประจุเพื่อหาแรงดันที่มันจะเข้าสู่

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2.2·6.8/(2.2 + 6.8) = 1.662 kΩ

v_C(∞) = 24·6.8/(2.2 + 6.8) = 18.13 V

ค่าคงตัวเวลา

τ = R_th·C = 1.662·100 = 166.2 ms

คำตอบ

τ = 166.2 ms

8.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: t = 533.6 ms

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 5 + (24 − 5)·e^−t/τ

แก้สมการหาเวลา

18.3 = 5 + (19)·e^−t/τ → e^−t/τ = (18.3 − 5)/(24 − 5) = 0.7

t = τ·ln((24 − 5)/(18.3 − 5)) = 1496·ln(1.429) = 533.6 ms

คำตอบ

t = 533.6 ms

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: cos φ = 0.1162

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = 94.25 Ω, X_C = 265.3 Ω

อิมพีแดนซ์

|Z| = √(20² + (−171)²) = 172.2 Ω

ตัวประกอบกำลัง

cos φ = R/|Z| = 20/172.2 = 0.1162

วงจรเป็นเชิงความจุ ตัวประกอบกำลังจึงเป็นแบบนำ

คำตอบ

cos φ = 0.1162

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: f₀ = 164.2 Hz

เรโซแนนซ์

ที่เรโซแนนซ์ รีแอกแตนซ์เหนี่ยวนำและรีแอกแตนซ์ความจุหักล้างกัน: ωL = 1/(ωC) ความถี่ของแหล่งจ่ายไม่มีผล

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·4.7·10⁻⁶)) = 164.2 Hz

คำตอบ

f₀ = 164.2 Hz

11.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 194.3 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 25·tan(arccos 0.75) = 22.05 kvar

Q₂ = −19·tan(arccos 0.8) = −14.25 kvar

ผลรวม

P = 25 + 19 = 44 kW

Q = 22.05 + (−14.25) = 7.798 kvar

S = √(44² + 7.798²) = 44.69 kVA

กระแสรวม

I = S/V = 44686/230 = 194.3 A

คำตอบ

I = 194.3 A

12.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: P_max = 2.88 W

การจับคู่สังยุค

รีแอกแตนซ์ของโหลดหักล้างรีแอกแตนซ์ของแหล่งกำเนิด และความต้านทานโหลดเท่ากับความต้านทานแหล่งกำเนิด

Z_L = Z_s* = 50 − j6 Ω

กำลังสูงสุด

I = V_s/(2R_s) = 24/100 = 0.24 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 24²/(4·50) = 2.88 W

คำตอบ

P_max = 2.88 W

13.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 16.21 kW

กำลังปรากฏ

S = √3·V_L·I_L = √3·208·60 = 21.62 kVA

กำลังจริง

P = S·cos φ = 21.62·0.75 = 16.21 kW

คำตอบ

P = 16.21 kW

14.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: C_ph = 312.2 µF

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 200·tan(acos 0.65) = 200·1.169 = 233.8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.95) = 200·0.3287 = 65.74 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 168.1 kvar

ความจุต่อเฟส

ในชุดแบบ Δ ตัวเก็บประจุแต่ละตัวต่อระหว่างสองสาย

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 56030/(377·690²) = 312.2 µF

คำตอบ

C_ph = 312.2 µF

15.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: I₁ = 0.3833 A

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

แรงดันและกระแสทุติยภูมิ

V₂ = 4600/20 = 230 V

I₂ = 230/30 = 7.667 A

กระแสด้านปฐมภูมิ

หม้อแปลงอุดมคติไม่มีการสูญเสีย: V₁·I₁ = V₂·I₂

I₁ = I₂/20 = 0.3833 A

คำตอบ

I₁ = 0.3833 A

ตรวจสอบ: โหลดที่มองจากด้านปฐมภูมิคือ a²·R_L = 12000 Ω และ 4600/12000 ให้กระแสเท่ากัน

16.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: S_η,max = 43.3 kVA

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

x²·1125 = 375 → x = √(375/1125) = 0.5774

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

S_η,max = x·S = 0.5774·75 = 43.3 kVA

คำตอบ

S_η,max = 43.3 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

วิธีการ

การวิเคราะห์โหนด

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

หม้อแปลงไฟฟ้า

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

กระแสจากแหล่งจ่าย

กระแสผ่าน R₂

คำตอบ

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

กระแสจากแหล่งจ่าย

คำตอบ

KCL ที่โหนด A

KCL ที่โหนด B

แก้สมการ

กำลังที่แหล่งกำเนิดกระแสจ่าย

คำตอบ

ตั้งโหนด

KCL ที่โหนด A

KCL ที่โหนด B

แก้สมการ

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

วงจรสมมูลเทวินินที่ตัวเก็บประจุมองเห็น

ค่าคงตัวเวลา

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แก้สมการหาเวลา

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

ตัวประกอบกำลัง

คำตอบ

เรโซแนนซ์

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

กระแสรวม

คำตอบ

การจับคู่สังยุค

กำลังสูงสุด

คำตอบ

กำลังปรากฏ

กำลังจริง

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

ความจุต่อเฟส

คำตอบ

แรงดันและกระแสทุติยภูมิ

กระแสด้านปฐมภูมิ

คำตอบ

การสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

โหลดที่ประสิทธิภาพสูงสุด

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด