พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 16 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

ตัวต้านทานอนุกรม: R_eq = R₁ + R₂ + …
ตัวต้านทานขนาน: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
สองตัวขนานกัน: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
กฎของโอห์ม: V = I·R
กำลัง: P = V·I = I²R = V²/R

วิธีการ

เริ่มจากปลายของโครงข่ายที่ไกลจากขั้วที่สุด
รวมตัวต้านทานอนุกรมโดยบวกกัน และตัวต้านทานขนานด้วย 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
วาดวงจรใหม่หลังทุกขั้นตอน
ทำซ้ำจนเหลือตัวต้านทานตัวเดียวระหว่างขั้ว

การวิเคราะห์โหนด

กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์: ΣI_in = ΣI_out
กระแสสาขา: I = (V_a − V_b)/R
โหนดอ้างอิง: V_ground = 0

วิธีการ

เลือกโหนดอ้างอิง (กราวด์) และตั้งชื่อแรงดันโหนดอื่น
เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่ทุกโหนดที่ไม่ทราบค่า: กระแสที่ไหลออกผ่านแต่ละสาขาเท่ากับกระแสที่ไหลเข้า
เขียนกระแสสาขาทุกสาขาเป็น (V_a − V_b)/R
แก้ระบบสมการ แล้วหากระแสที่ต้องการ

เทวินินและนอร์ตัน

แรงดันเทวินิน: V_th = V_{open circuit}
ความต้านทานเทวินิน: R_th: ปิดแหล่งจ่ายทั้งหมด มองจาก a–b
กระแสนอร์ตัน: I_N = V_th/R_th
กระแสโหลด: I_L = V_th/(R_th + R_L)
การถ่ายโอนกำลังสูงสุด: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

วิธีการ

ถอดโหลดออกและทำเครื่องหมายสองขั้วเป็น a และ b
หาแรงดันวงจรเปิดระหว่าง a และ b: นี่คือ V_th
ปิดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมดแล้วหาความต้านทานที่มองจาก a–b: นี่คือ R_th
ต่อโหลดกลับเข้ากับวงจรสมมูล: V_th อนุกรมกับ R_th
สำหรับวงจรสมมูลนอร์ตัน ให้แปลง: I_N = V_th/R_th โดยมี R_N = R_th ต่อขนาน

ทรานเซียนต์ RC และ RL

ค่าคงตัวเวลา: τ = RC | τ = L/R
การตอบสนอง: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
ตัวเก็บประจุที่ไฟฟ้ากระแสตรง: วงจรเปิด v_C กระโดดไม่ได้
ตัวเหนี่ยวนำที่ไฟฟ้ากระแสตรง: ลัดวงจร i_L กระโดดไม่ได้
นิ่งแล้ว: t ≈ 5τ

วิธีการ

หาค่าเริ่มต้นทันทีหลังสวิตช์: แรงดันตัวเก็บประจุและกระแสตัวเหนี่ยวนำกระโดดไม่ได้
หาค่าสุดท้ายเมื่อสวิตช์ผ่านไปนาน: ตัวเก็บประจุทำตัวเป็นวงจรเปิด ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเป็นลัดวงจร
หาค่าคงตัวเวลา: τ = RC หรือ τ = L/R โดยใช้ความต้านทานที่ตัวเก็บประจุหรือตัวเหนี่ยวนำมองเห็น
ใช้ x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

อิมพีแดนซ์: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
ความถี่เชิงมุม: ω = 2πf
ขนาดและมุม: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
กฎของโอห์มแบบเฟสเซอร์: V = I·Z

วิธีการ

แปลงความถี่: ω = 2πf
หารีแอกแตนซ์แต่ละค่า: X_L = ωL และ X_C = 1/(ωC)
บวกอิมพีแดนซ์เหมือนตัวต้านทาน โดย Z = R + jX
หาขนาด |Z| = √(R² + X²) และมุม φ = atan(X/R) แล้วใช้กฎของโอห์มกับเฟสเซอร์

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังจริง: P = V·I·cos φ
กำลังรีแอกทีฟ: Q = V·I·sin φ
กำลังปรากฏ: S = V·I = √(P² + Q²)
ตัวประกอบกำลัง: pf = cos φ = P/S
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

การต่อแบบ Y: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
การต่อแบบ Δ: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
กำลังจริงรวม: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
กำลังปรากฏและกำลังรีแอกทีฟ: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
ตัวเก็บประจุแก้ตัวประกอบกำลัง: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุแต่ละตัว: Δ: V_L Y: V_L/√3
กำลังป้อนเข้ามอเตอร์: P_in = P_out/η

หม้อแปลงไฟฟ้า

อัตราส่วนจำนวนรอบ: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
อัตราส่วนกระแส: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
กระแสพิกัด: I = S/V
อิมพีแดนซ์ที่อ้างอิง: Z₁′ = a²·Z_L
การสูญเสียในทองแดงที่โหลดบางส่วน: P_cu = x²·P_cu,fl
ประสิทธิภาพ: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
ประสิทธิภาพสูงสุด: x = √(P_core/P_cu,fl)

2โจทย์ฝึก

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานปานกลาง

หากระแส I_R1 ที่แหล่งจ่ายจ่ายออกมา ซึ่งไหลผ่าน R₁

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนานยาก

หาความต้านทานสมมูล R_eq ที่แหล่งจ่าย V₁ มองเห็น

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

3.การวิเคราะห์โหนดปานกลาง

ใช้การวิเคราะห์โหนดเพื่อหา กระแส I_R1 ผ่าน R₁ ในทิศทางตามลูกศร

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.การวิเคราะห์โหนดยาก

ปรับแหล่งกำเนิดกระแสจนแรงดันโนดที่ A เป็น V_A = 21 V ใช้การวิเคราะห์โนดหากระแสของแหล่งกำเนิด I_s (ทิศทางตามที่แสดง)

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 10 ΩV_A = 21 V

I_s = A

5.เทวินินและนอร์ตันปานกลาง

หากระแสนอร์ตัน I_N คือกระแสที่ไหลจาก a ไป b เมื่อลัดวงจรขั้ว

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

I_N = A

6.เทวินินและนอร์ตันยาก

ต่อโหลด R_L = 25 Ω คร่อม a–b แทนส่วนที่เหลือของวงจรด้วยวงจรสมมูลเทวินิน แล้วหากระแสโหลด I_L

V₁ = 10 VI_s = 3 AR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 25 Ω

I_L = A

7.ทรานเซียนต์ RC และ RLปานกลาง

ตัวเหนี่ยวนำไม่มีกระแสก่อนที่สวิตช์จะปิดที่ t = 0 หาแรงดัน v_L คร่อมตัวเหนี่ยวนำที่ t = 2 ms

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

v_L = V

8.ทรานเซียนต์ RC และ RLยาก

ก่อนสวิตช์ปิดที่ t = 0 ตัวเก็บประจุเก็บแรงดัน 4 V ตามขั้วที่แสดง หาแรงดัน v_C คร่อมตัวเก็บประจุที่ t = 200 ms

V_s = 6 VR = 4.7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 4 Vt = 200 ms

v_C = V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ปานกลาง

ตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำต่อขนานกันคร่อมแหล่งจ่าย 100 V (rms) 100 Hz หามุมเฟส φ ของอิมพีแดนซ์ ในหน่วยองศา (เป็นบวกเมื่อกระแสล้าหลังแรงดัน)

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mH

φ = °

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์ยาก

วงจร RLC อนุกรมต่อกับแหล่งจ่าย 100 V (rms) 100 Hz หาแรงดัน rms V_C คร่อมตัวเก็บประจุ

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 100 µF

V_C = V

11.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังปานกลาง

โหลดสองตัวต่อขนานกันกับแหล่งจ่ายเฟสเดียว 400 V: โหลด 11 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 แบบตามหลัง และ โหลด 29 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.7 แบบตามหลัง จงหากระแสรวม I ที่ดึงจากแหล่งจ่าย

V = 400 VP₁ = 11 kW, pf₁ = 0.65 ล้าหลังP₂ = 29 kW, pf₂ = 0.7 ล้าหลัง

I = A

12.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลังยาก

โหลดเฟสเดียวใช้กำลัง 45 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.8 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 240 V 60 Hz ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานทำให้ตัวประกอบกำลังเพิ่มเป็น 0.92 หากำลังรีแอกทีฟ Q_C ที่ตัวเก็บประจุต้องจ่าย

P = 45 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

13.กำลังไฟฟ้าสามเฟสปานกลาง

โหลดต่อแบบ Δ สมดุลที่มีอิมพีแดนซ์ 18 + j24 Ω ต่อเฟส ต่อกับแหล่งจ่ายสามเฟสสมดุลที่มีแรงดันสาย–สาย 208 V หากำลังจริงรวม P ที่โหลดดูดซับใน kW

V_L = 208 VZ = 18 + j24 Ω ต่อเฟส

P = kW

14.กำลังไฟฟ้าสามเฟสยาก

โหลดสามเฟสสมดุลใช้กำลัง 120 kW ที่ตัวประกอบกำลัง 0.65 ล้าหลัง จากแหล่งจ่าย 480 V (สาย–สาย) 50 Hz ชุดตัวเก็บประจุสามเฟสที่ต่อขนานกับโหลดต้องเพิ่มตัวประกอบกำลังรวมเป็น 0.95 ล้าหลัง กำลังจริงคงเดิม หากำลังรีแอกทีฟรวม Q_C ที่ชุดตัวเก็บประจุต้องจ่าย ใน kvar

P = 120 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

15.หม้อแปลงไฟฟ้าปานกลาง

ต่อตัวต้านทาน 16 Ω คร่อมขดลวดทุติยภูมิของหม้อแปลงอุดมคติที่มีอัตราส่วนจำนวนรอบ N₁:N₂ = 8:1 หาความต้านทาน R_1′ ที่มองเข้าไปจากขดลวดปฐมภูมิ

N₁:N₂ = 8:1R_L = 16 Ω

R_1′ = Ω

16.หม้อแปลงไฟฟ้ายาก

หม้อแปลงเฟสเดียว 200 kVA มีการสูญเสียในแกน 1000 W และการสูญเสียในทองแดง 4000 W ที่โหลดพิกัด จ่ายโหลด 50% ของ kVA พิกัด ที่ตัวประกอบกำลัง 0.9 ล้าหลัง หาการสูญเสียรวม P_loss เป็นวัตต์ที่โหลดนี้

S = 200 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 4000 Wx = 0.5pf = 0.9

P_loss = W

3สารละลาย

1.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: I_R1 = 0.7477 A

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน: ในการต่ออนุกรม กระแสเดียวกันไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัว และ R = R₁ + R₂ + … ในการต่อขนาน ตัวต้านทานแต่ละตัวมีแรงดันเท่ากัน และ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … วงจรแบบบันไดลดรูปทีละคู่จนเหลือความต้านทานสมมูลเพียงค่าเดียว

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

เริ่มจากปลายที่ไกลจากแหล่งจ่ายที่สุดแล้วไล่กลับมาหาแหล่งจ่าย ตัวต้านทานที่มีกระแสเท่ากันต่ออนุกรมกัน ตัวต้านทานที่คร่อมโหนดคู่เดียวกันต่อขนานกัน

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 15·25/(15+25) = 9.375 Ω

R_eq = R₁ + 9.375 = 4 + 9.375 = 13.38 Ω

กระแสจากแหล่งจ่าย

แหล่งจ่ายเห็นเพียง R_eq ดังนั้นกฎของโอห์มจึงให้กระแสที่มันจ่ายออกมา กระแสนั้นไหลผ่าน R₁

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13.38 = 0.7477 A

คำตอบ

I_R1 = 0.7477 A

2.ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

คำตอบ: R_eq = 34.14 Ω

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

R₅ + R₆ = 30 + 12 = 42 Ω

R₄ ∥ 42 = 9.333 Ω

R₃ + 9.333 = 13.33 Ω

R₂ ∥ 13.33 = 4.138 Ω

R_eq = R₁ + 4.138 = 30 + 4.138 = 34.14 Ω

คำตอบ

R_eq = 34.14 Ω

3.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: I_R1 = 0.2706 A

การวิเคราะห์โหนด: เลือกโหนดอ้างอิง ตั้งชื่อแรงดันโหนดที่ไม่ทราบค่า เขียนกฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ที่โหนดที่ไม่ทราบค่าแต่ละโหนดโดยใช้กฎของโอห์ม (I = ΔV/R) แล้วแก้ระบบสมการที่ได้

ตั้งโหนด

กราวด์คือสายด้านล่าง แรงดันโหนดที่ทราบค่าได้จากแหล่งจ่ายโดยตรง (V₁ = 9 V) ตัวแปรที่ไม่ทราบ: V_A, V_B

KCL ที่โหนด A

กระแสที่ไหลออกจาก A ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า A

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/3 + (V_A − 9)/15 + (V_A − V_B)/20 = 0

0.45·V_A − 0.05·V_B = 0.6

KCL ที่โหนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งจ่ายดันเข้า B

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/20 = 3

−0.05·V_A + 0.1·V_B = 3

แก้สมการ

Δ = (0.45)(0.1) − (−0.05)(−0.05) = 0.0425

V_A = Δ₁/Δ = 0.21/0.0425 = 4.941 V

V_B = Δ₂/Δ = 1.38/0.0425 = 32.47 V

คำตอบ

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (9 − 4.941)/15 = 0.2706 A

4.การวิเคราะห์โหนด

คำตอบ: I_s = 5.137 A

KCL ที่โนด A

ทราบ V_A แล้ว สมการนี้จึงให้ V_B

(V_A − V₁)/R₁ + V_A/R₂ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

(21 − 18)/8 + 21/25 = (V_B − 21)/15

1.215 = (V_B − 21)/15 → V_B = 39.22 V

KCL ที่โนด B

กระแสที่ไหลออกจาก B ผ่านตัวต้านทานเท่ากับกระแสที่แหล่งกำเนิดดันเข้า B

I_s = (V_B − V_A)/R₃ + V_B/R₄ = (39.22 − 21)/15 + 39.22/10 = 5.137 A

คำตอบ

I_s = 5.137 A

5.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_N = 1.455 A

ทฤษฎีบทของเทวินิน: โครงข่ายเชิงเส้นสองขั้วใด ๆ ทำงานเหมือนแหล่งจ่ายแรงดัน V_th หนึ่งตัวต่ออนุกรมกับความต้านทาน R_th ทฤษฎีบทของนอร์ตัน ให้โครงข่ายเดียวกันในรูปแหล่งจ่ายกระแส I_N = V_th/R_th ต่อขนานกับ R_th

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

แทนแหล่งจ่ายแรงดันด้วยลัดวงจรและแหล่งจ่ายกระแสด้วยวงจรเปิด แล้วมองเข้าไปในวงจรจาก a–b

R₁ ∥ R₂ = 2·8/(2+8) = 1.6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1.6 + 5 = 6.6 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ ไม่มีกระแสไหลผ่าน R₃ จึงไม่มีแรงดันตกคร่อม ดังนั้น V_b = V_A และ R₁ กับ R₂ เป็นตัวแบ่งแรงดัน

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·8/(2+8) = 9.6 V

วงจรสมมูลนอร์ตัน

แหล่งจ่ายนอร์ตันคือวงจรเดียวกันที่มองเป็นแหล่งจ่ายกระแสขนานกับ R_th กระแสของมันคือกระแสลัดวงจรที่ a–b

I_N = V_th/R_th = 9.6/6.6 = 1.455 A

6.เทวินินและนอร์ตัน

คำตอบ: I_L = −1.042 A

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

R₁ ∥ R₂ = 30·15/(30+15) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 5 = 15 Ω

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

เมื่อ a–b เปิดอยู่ เส้นทางเดียวของ Iₛ คือผ่าน R₃ เข้าโหนด A หา V_A ด้วยการซ้อนทับของ V₁ และ Iₛ แล้วบวกแรงดันตกคร่อม R₃

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.333 + (−3)·10 = −26.67 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −26.67 + (−3)·5 = −41.67 V

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

แหล่งจ่ายเทวินินกับ R_th ที่ต่ออนุกรมกันทำงานเหมือนวงจรเดิมที่ a–b ทุกประการ โหลดจึงเห็นเป็นลูปอนุกรมอย่างง่าย

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −41.67/(15 + 25) = −1.042 A

7.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_L = 3.163 V

ทรานเซียนต์อันดับหนึ่ง: ในวงจรที่มีตัวเก็บประจุหนึ่งตัวหรือตัวเหนี่ยวนำหนึ่งตัว แรงดันและกระแสทุกค่าเปลี่ยนแบบเอกซ์โพเนนเชียลจากค่าเริ่มต้นไปยังค่าสุดท้าย: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ โดย τ = RC หรือ τ = L/R หลังจากประมาณ 5τ วงจรจะนิ่งแล้ว

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

เมื่อสวิตช์ปิดไปนานแล้ว ตัวเหนี่ยวนำทำตัวเหมือนลัดวงจร กระแสสุดท้ายจึงขึ้นกับ R เพียงตัวเดียว

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0.5455 A

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

ที่ t = 0 แรงดันจากแหล่งจ่ายทั้งหมดตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ จากนั้นลดลงเป็นศูนย์

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−2/1.5 = 3.163 V

คำตอบ

v_L = 3.163 V

8.ทรานเซียนต์ RC และ RL

คำตอบ: v_C = 5.449 V

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุไม่สามารถกระโดดได้ จึงเริ่มจากค่าที่เก็บไว้และมุ่งไปสู่แรงดันของแหล่งจ่าย

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

v_C(200) = 6 + (−2)·e^−200/155.1 = 5.449 V

คำตอบ

v_C = 5.449 V

9.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: φ = 23 °

วงจรกระแสสลับด้วยเฟสเซอร์: ตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุมีอิมพีแดนซ์ R, jωL และ 1/(jωC) โดย ω = 2πf ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเหมือนความต้านทาน แต่เป็นจำนวนเชิงซ้อน กระแสและแรงดัน rms เป็นไปตามกฎของโอห์มโดยใช้ |Z|

รีแอกแตนซ์

X_L = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω

กระแสในแต่ละสาขา

ทั้งสองสาขาต่อตรงคร่อมแหล่งจ่าย ดังนั้นแต่ละสาขาเห็นแรงดัน V เต็มค่า

I_R = V/R = 100/40 = 2.5 A

I_X = V/X_L = 100/94.25 = 1.061 A

กระแสรวม

กระแสตัวต้านทานเฟสตรงกับ V และกระแสรีแอกทีฟต่างเฟส 90° จึงบวกกันเหมือนด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I = √(I_R² + I_X²) = √(2.5² + 1.061²) = 2.716 A

มุมเฟส

กระแสตัวเหนี่ยวนำตามหลัง V ดังนั้นกระแสรวมตามหลังและมุมเป็นบวก

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1.061/2.5) = 23°

คำตอบ

φ = 23°

10.อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

คำตอบ: V_C = 13.63 V

รีแอกแตนซ์

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

อิมพีแดนซ์

ในการต่ออนุกรม อิมพีแดนซ์บวกกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน: Z = R + j(X_L − X_C)

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (109.7)²) = 116.8 Ω

กระแส

กระแสเดียวกันไหลผ่านทุกองค์ประกอบของวงจรอนุกรม

I = V/|Z| = 100/116.8 = 0.8561 A

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

V_C = I·X_C = 0.8561·15.92 = 13.63 V

คำตอบ

V_C = 13.63 V

11.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: I = 145.8 A

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับ: กำลังปรากฏ S = V·I (VA) แยกเป็นกำลังจริง P = S·cos φ (W) ซึ่งทำงานที่เป็นประโยชน์ และกำลังรีแอกทีฟ Q = S·sin φ (var) ซึ่งเคลื่อนไปมาระหว่างแหล่งจ่ายกับโหลด ตัวประกอบกำลังคือ cos φ ตัวเก็บประจุที่ต่อขนานจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ กระแสในสายจึงลดลงสำหรับกำลังจริงเท่าเดิม

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

โหลดแบบตามหลังดึงกำลังรีแอกทีฟ (Q > 0) โหลดแบบนำจ่ายกำลังรีแอกทีฟ (Q < 0)

Q₁ = 11·tan(arccos 0.65) = 12.86 kvar

Q₂ = 29·tan(arccos 0.7) = 29.59 kvar

ผลรวม

P = 11 + 29 = 40 kW

Q = 12.86 + 29.59 = 42.45 kvar

S = √(40² + 42.45²) = 58.32 kVA

กระแสรวม

I = S/V = 58324/400 = 145.8 A

คำตอบ

I = 145.8 A

12.กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

คำตอบ: Q_C = 14.58 kvar

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริง P ไม่เปลี่ยน มีเพียงกำลังรีแอกทีฟที่ดึงจากแหล่งจ่ายเท่านั้นที่เปลี่ยน

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(36.87°) = 33.75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(23.07°) = 19.17 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 14.58 kvar

คำตอบ

Q_C = 14.58 kvar

13.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: P = 2.596 kW

แรงดันเฟส

V_ph = V_L = 208 V

กระแสเฟส

|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω

I_ph = 208/30 = 6.933 A

กำลังจริงรวม

มีเพียงส่วนที่เป็นความต้านทานของอิมพีแดนซ์แต่ละตัวที่ดูดซับกำลังจริง

P = 3·I_ph²·R = 3·6.933²·18 = 2.596 kW

คำตอบ

P = 2.596 kW

ตรวจสอบ: cos φ = R/|Z| = 0.6 และ √3·V_L·I_L·cos φ ให้กำลังเท่ากัน

14.กำลังไฟฟ้าสามเฟส

คำตอบ: Q_C = 100.9 kvar

ระบบสามเฟสสมดุล: ในการต่อแบบ Y (สตาร์) แรงดันสาย–สายเท่ากับ √3 เท่าของแรงดันเฟส V_L = √3·V_ph และกระแสสายเท่ากับกระแสเฟส ในการต่อแบบ Δ (เดลตา) แรงดันสาย–สายเท่ากับแรงดันเฟส และกระแสสายเป็น √3 เท่าของกระแสเฟส I_L = √3·I_ph กำลังรวมเป็นสามเท่าของกำลังหนึ่งเฟส: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ การปรับปรุงตัวประกอบกำลัง: ตัวเก็บประจุจ่ายกำลังรีแอกทีฟในพื้นที่ Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂) ตัวเก็บประจุทั้งสามตัวจ่ายตัวละ Q_C/3 = V²·ω·C โดย V คือแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุตัวนั้น: V_L ในชุดแบบ Δ, V_L/√3 ในชุดแบบ Y

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังจริงไม่เปลี่ยน ตัวประกอบกำลังแต่ละค่าจึงกำหนดกำลังรีแอกทีฟ: Q = P·tan φ

Q₁ = 120·tan(acos 0.65) = 120·1.169 = 140.3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

Q_C = Q₁ − Q₂ = 100.9 kvar

คำตอบ

Q_C = 100.9 kvar

15.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: R_1′ = 1024 Ω

หม้อแปลงอุดมคติ: แรงดันเป็นไปตามอัตราส่วนจำนวนรอบ และกระแสเป็นอัตราส่วนผกผัน: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a และ I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ดังนั้นกำลังเข้าเท่ากับกำลังออก V₁·I₁ = V₂·I₂ โหลดอิมพีแดนซ์ Z ด้านทุติยภูมิมองจากด้านปฐมภูมิเป็น a²·Z

ความต้านทานที่อ้างอิง

แรงดันเพิ่มขึ้น a เท่าและกระแสลดลง a เท่า อัตราส่วน V/I จึงเพิ่มขึ้น a² เท่า

R_1′ = a²·R_L = 8²·16 = 1024 Ω

คำตอบ

R_1′ = 1024 Ω

16.หม้อแปลงไฟฟ้า

คำตอบ: P_loss = 2000 W

การสูญเสียของหม้อแปลง: การสูญเสียในแกน (ฮิสเทอรีซิสและกระแสไหลวน) ขึ้นกับแรงดันและเท่ากันทุกโหลด การสูญเสียในทองแดงของขดลวดเป็นไปตามกำลังสองของกระแส ดังนั้นที่สัดส่วน x ของโหลดพิกัดจะเป็น x²·P_cu,fl ประสิทธิภาพ η = P_out/(P_out + P_core + P_cu) โดย P_out = x·S·pf ประสิทธิภาพสูงสุดที่โหลดซึ่งการสูญเสียในทองแดงเท่ากับการสูญเสียในแกน

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.25·4000 = 1000 W

การสูญเสียรวม

การสูญเสียในแกนเท่ากันทุกโหลด

P_loss = 1000 + 1000 = 2000 W

คำตอบ

P_loss = 2000 W

ประสิทธิภาพที่โหลดนี้คือ η = 97.83%

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals

พื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า: ชุดสรุปเร่งรัด

1สูตรและวิธีทำ

ตัวต้านทานอนุกรมและขนาน

วิธีการ

การวิเคราะห์โหนด

วิธีการ

เทวินินและนอร์ตัน

วิธีการ

ทรานเซียนต์ RC และ RL

วิธีการ

อิมพีแดนซ์กระแสสลับและเฟสเซอร์

วิธีการ

กำลังไฟฟ้ากระแสสลับและตัวประกอบกำลัง

กำลังไฟฟ้าสามเฟส

หม้อแปลงไฟฟ้า

2โจทย์ฝึก

3สารละลาย

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

กระแสจากแหล่งจ่าย

คำตอบ

รวมตัวต้านทานจากปลายสุด

คำตอบ

ตั้งโหนด

KCL ที่โหนด A

KCL ที่โหนด B

แก้สมการ

คำตอบ

KCL ที่โนด A

KCL ที่โนด B

คำตอบ

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

วงจรสมมูลนอร์ตัน

หา Rth โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา Vth คือแรงดันวงจรเปิด

ต่อโหลดเข้ากับวงจรสมมูลเทวินิน

ค่าคงตัวเวลาและกระแสสุดท้าย

แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

คำตอบ

ค่าเริ่มต้น ค่าสุดท้าย ค่าคงตัวเวลา

แรงดันที่เวลาที่กำหนด

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

กระแสในแต่ละสาขา

กระแสรวม

มุมเฟส

คำตอบ

รีแอกแตนซ์

อิมพีแดนซ์

กระแส

แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟของแต่ละโหลด

ผลรวม

กระแสรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

คำตอบ

แรงดันเฟส

กระแสเฟส

กำลังจริงรวม

คำตอบ

กำลังรีแอกทีฟก่อนและหลัง

กำลังรีแอกทีฟจากตัวเก็บประจุ

คำตอบ

ความต้านทานที่อ้างอิง

คำตอบ

การสูญเสียในทองแดงที่โหลดนี้

การสูญเสียรวม

คำตอบ

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด

หา R_th โดยปิดแหล่งจ่ายทุกตัว

หา V_th คือแรงดันวงจรเปิด