สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 42 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B รับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ 6 m จาก A และโมเมนต์คู่ควบ ตามเข็มนาฬิกา M ที่ระยะ 4 m จาก A จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง RB โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก
คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA
หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 200 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 30 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
เพลา ทองเหลือง ตัน ยาว 2.5 m รับแรงบิด 1000 N·m มุมบิดระหว่างปลายทั้งสองต้องไม่เกิน 1.5° จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามขีดจำกัดนี้
เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 15 kW ที่ 750 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.75° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
เครื่องหมาย A ถึง G แบ่งคานเป็นหกส่วนเท่ากัน ที่เครื่องหมายใดโมเมนต์ดัดมีขนาดมากที่สุด ทั้งแบบท้องแอ่นหรือหลังโก่ง คลิกที่มันในแผนภาพ
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอบนบางส่วนของช่วงคาน จงหาโมเมนต์ดัดสูงสุด Mmax ในคาน
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ a = 4 m จากจุดรองรับ A จงหาการโก่งตัว δP ใต้แรงกระทำ
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ b = 1.5 m จากจุดรองรับ B จงหาการโก่งตัว δmid ที่กึ่งกลางช่วงคาน
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 95 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
ยิงลูกบอลจากพื้นราบที่มุม 25° เหนือแนวนอนและตกห่างออกไป 130 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วต้น v0
ลูกบอลถูกยิงออกไปทำมุม 55° เหนือแนวนอน จากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศ หาเวลาเคลื่อนที่ t จนกระทั่งลูกบอลกระทบพื้น
เครื่องยิงของเล่นมีสปริงแนวดิ่งที่มีค่าคงตัว 1000 N/m วางลูกบอล 0.05 kg บนสปริงและกดสปริงลง 3 cm แล้วปล่อย ไม่คิดแรงต้านอากาศและมวลของสปริง จงหาความสูง h ที่ลูกบอลขึ้นไป วัดจากตำแหน่งของมันเมื่อสปริงถูกกด
ก้อนวัตถุมวล 2.5 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 4 m บนทางลาดเรียบ ที่ด้านล่างมันผ่านแถบแนวนอนขรุขระยาว 2 m (μ = 0.3) แล้ววิ่งไปชนสปริง (k = 4000 N/m) บนพื้นผิวเรียบ หาการหดตัวสูงสุด x ของสปริง
มวล 50 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 1260 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 12 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 5 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 200 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 5 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ ηmax
ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 18.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 45 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ 7 °C COP จริงของมันคือ 35% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้
วัฏจักรดีเซลอุดมคติมีอัตราส่วนการอัด r = 17 และอัตราส่วนตัดตอน rc = v₃/v₂ = 2.5 เมื่อเริ่มอัด อากาศอยู่ที่ 295 K ใช้สมมติฐานอากาศมาตรฐานเย็น: อากาศเป็นแก๊สอุดมคติที่มีความจุความร้อนจำเพาะคงที่ k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) และ cv = 0.718 kJ/(kg·K) หาความร้อนที่เพิ่ม qin ต่อกิโลกรัมของอากาศ ใน kJ/kg
โรงไฟฟ้ากังหันแก๊สทำงานด้วยวัฏจักรเบรย์ตันที่อัตราส่วนความดันของคอมเพรสเซอร์ 12 อากาศเข้าคอมเพรสเซอร์ที่ 295 K และเข้ากังหันที่ 1200 K คอมเพรสเซอร์มีประสิทธิภาพไอเซนโทรปิก 82% และกังหัน 90% ใช้สมมติฐานอากาศมาตรฐานเย็น: อากาศเป็นแก๊สอุดมคติที่มีความจุความร้อนจำเพาะคงที่ k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) และ cv = 0.718 kJ/(kg·K) หางานสุทธิขาออก wnet ต่อกิโลกรัมของอากาศ ใน kJ/kg
น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 75 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 330 kPa และความเร็วคือ 1 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ
เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 200 mm คอคอด 100 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 370 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.95 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²
น้ำไหลด้วย 10 L/s ผ่านท่อยาว 300 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ผิวน้ำของอ่างบนสูงกว่าอ่างล่าง 29 m การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราการไหล Q ใน L/s
ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 150 L/s ต้านเฮด 34 m ประสิทธิภาพปั๊มคือ 85% และมอเตอร์ไฟฟ้าที่ขับมีประสิทธิภาพ 90% ใช้ g = 9.81 m/s² หากำลังไฟฟ้า Pel ที่มอเตอร์ดึง ใน kW
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 32 m ท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
ผนังประกอบด้วยคอนกรีตหนา 200 mm และโฟมพอลิสไตรีนขยายตัวหนา 150 mm มีพื้นที่ 6 m² ผิวด้านนอกทั้งสองมีอุณหภูมิ 23 °C และ 6 °C หาอุณหภูมิ Ti ที่รอยต่อระหว่างสองชั้น
ผนังคอนกรีตหนา 150 mm และโฟมพอลิสไตรีนขยายตัวหนา 50 mm กั้นระหว่างห้องที่ 22 °C กับอากาศภายนอกที่ -10 °C สัมประสิทธิ์การพาความร้อนคือ 7.7 W/(m²·K) ภายใน และ 25 W/(m²·K) ภายนอก และพื้นที่ผนังคือ 12 m² หาสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนรวม U ของผนัง
สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 960 rpm แรงตึงคือ 500 N ที่ด้านตึงและ 150 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW
ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (24 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 960 rpm ขับเฟือง B (36 ฟัน) เฟือง C (50 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (72 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout
จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (5s + 14)/(s² + 6s + 10) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.6)
ระบบเป็นไปตาม y″ + 11y′ + 30y = 30·u(t) โดย y(0) = 6 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.2)
พืช G(s) = K/((s + 3)(s + 6)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีการหน่วงวิกฤต (โพลจริงเท่ากันสองตัว)
พืช G(s) = 12/(s(s + 5)) อยู่ในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 2 โพลวงปิดเป็นจำนวนเชิงซ้อน จงหาส่วนจินตภาพ ωd ของพวกมัน (ค่าบวก) ใน rad/s
ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 91/(s² + 13s + 91) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาความถี่ธรรมชาติ ωn เป็น rad/s
ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 4)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 10 %
วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 5)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 2t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.5 จงหาอัตราขยาย K
ตัวควบคุม PI C(s) = Kp + Ki/s ขับโรงงาน G(s) = 1/(s + 1) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 6 rad/s และ ζ = 0.7 จงหาอัตราขยายสัดส่วน Kp
คำตอบ: RB = 60 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่หยุดนิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ ให้แทนแรงกระทำแบบแผ่แต่ละแรงด้วยแรงลัพธ์ (พื้นที่ของมัน) ที่กระทำที่เซนทรอยด์ของแผนภาพแรง และหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งเพื่อกำจัดแรงปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก
แรงปฏิกิริยาติดลบกระทำลง
คำตอบ: RA = 5.25 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน
โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง
คำตอบ: δ = 1.556 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.
คำตอบ: σ2 = 23.66 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
คำตอบ: d = 70.67 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
คำตอบ: d = 36.92 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
คำตอบ: D (x = 3 m)
โมเมนต์ดัดสูงสุด: ความชันของ M เปลี่ยนทุกที่ที่แรงเฉือนเปลี่ยน ดังนั้นยอดของมันอยู่ที่แรงเฉือนตัดผ่านศูนย์: ใต้โหลดจุด ภายในโหลดแผ่กระจาย หรือเหนือจุดรองรับของคานยื่น ที่จุดรองรับแบบยึดแน่นของคานยื่นออก โมเมนต์มากที่สุดที่ผนัง เปรียบเทียบขนาดของ M ที่ตำแหน่งเหล่านั้น ทั้งแบบท้องแอ่นหรือแบบหลังโก่ง
หาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจุด แล้วใช้สมดุลแรงแนวตั้ง
รวมโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ด้านหนึ่งของหน้าตัดที่ตัด ท้องแอ่นเป็นบวก หลังโก่งเป็นลบ
คำตอบ: Mmax = 38.4 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์สูงสุด: เนื่องจาก dM/dx = V โมเมนต์ดัดจึงมีค่าสูงสุดที่ตำแหน่งซึ่งแรงเฉือนผ่านศูนย์ ซึ่งอาจเป็นที่แรงกระทำเป็นจุดหรืออยู่ภายในแรงกระทำแบบแผ่
สมดุลของคานทั้งตัว
แรงเฉือนเริ่มต้นที่ RA คงที่ตลอดส่วนที่ไม่มีแรงกระทำ และลดลงด้วยความชัน w ภายในแรงกระทำ
คำตอบ: τmax = 22.36 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
คำตอบ: τθ = 11.34 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
คำตอบ: δP = 1.333 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
คำตอบ: δmid = 1.59 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
คำตอบ: Pcr = 9.922 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
คำตอบ: d = 63 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 95.23 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
คำตอบ: v0 = 40.8 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
คำตอบ: t = 4.568 s
การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์: เมื่อไม่มีแรงต้านอากาศ x = vxt และ y = h + vyt − ½gt² ทั้งสองทิศทางเป็นอิสระต่อกัน ยกเว้นว่าใช้เวลาเดียวกัน
ความเร็วในแนวนอนคงที่ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งมีความเร่งคงที่ g = 9.81 m/s² ลงด้านล่าง
แก้ y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 หาค่ารากที่เป็นบวก
คำตอบ: h = 0.9174 m
หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)
คำตอบ: x = 20.42 cm
หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)
ทางลาดเรียบ มีเพียงแถบขรุขระเท่านั้นที่ดึงพลังงานออก
คำตอบ: ζ = 0.1992
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง
คำตอบ: fn = 2.99 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
คำตอบ: ηmax = 41.21 %
ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ TH และ TL ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) และ COPHP,max = TH/(TH − TL) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: QH = W + QL
คำตอบ: Ẇ = 6.313 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
คำตอบ: qin = 1381 kJ/kg
วัฏจักรดีเซล (เครื่องยนต์จุดระเบิดด้วยการอัด): 1→2 อัดแบบไอเซนโทรปิก 2→3 เพิ่มความร้อนที่ความดันคงที่ 3→4 ขยายตัวแบบไอเซนโทรปิก 4→1 คายความร้อนที่ปริมาตรคงที่ เมื่ออัตราส่วนการอัด r = v₁/v₂ และอัตราส่วนตัดตอน rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) และ η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))
คำตอบ: wnet = 177.9 kJ/kg
วัฏจักรเบรย์ตัน (กังหันแก๊ส): 1→2 อัดแบบไอเซนโทรปิก 2→3 เพิ่มความร้อนที่ความดันคงที่ 3→4 ขยายตัวแบบไอเซนโทรปิกในกังหัน 4→1 คายความร้อนที่ความดันคงที่ เมื่ออัตราส่วนความดัน rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k และ η = 1 − 1/rp(k−1)/k งานสุทธิ w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)] เมื่อมีประสิทธิภาพไอเซนโทรปิก คอมเพรสเซอร์ต้องใช้ ws/ηc และกังหันให้ ηt·ws
อัตราส่วนงานย้อนกลับ: wc/wt = 67.75%
คำตอบ: p2 = 328.9 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
คำตอบ: Q = 73.7 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ
คำตอบ: hf = 0.5876 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
คำตอบ: Q = 157.6 L/s
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ผิวน้ำทั้งสองเปิดสู่อากาศและแทบจะนิ่ง Δz ทั้งหมดจึงสูญเสียไปในท่อ
คำตอบ: Pel = 65.4 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
คำตอบ: H = 65.19 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ผิวทั้งสองเปิดและแทบจะนิ่ง พจน์ความดันและความเร็วจึงหายไป
คำตอบ: Ti = 22.45 °C
ความต้านทานความร้อน: การไหลของความร้อนที่สภาวะคงตัวผ่านชั้นต่าง ๆ ที่เรียงต่อกันทำงานเหมือนกระแสผ่านตัวต้านทานอนุกรม: Q̇ = ΔT/ΣR โดย R = L/(kA) สำหรับชั้นที่นำความร้อน และ R = 1/(hA) สำหรับผิวที่มีการพาความร้อน อุณหภูมิที่ตกคร่อมแต่ละชั้นเป็นสัดส่วนกับความต้านทานของชั้นนั้น
อุณหภูมิลดลงข้ามชั้นแรกเท่ากับ Q̇·R₁
คำตอบ: U = 0.5863 W/(m²·K)
ความต้านทานความร้อน: การไหลของความร้อนที่สภาวะคงตัวผ่านชั้นต่าง ๆ ที่เรียงต่อกันทำงานเหมือนกระแสผ่านตัวต้านทานอนุกรม: Q̇ = ΔT/ΣR โดย R = L/(kA) สำหรับชั้นที่นำความร้อน และ R = 1/(hA) สำหรับผิวที่มีการพาความร้อน อุณหภูมิที่ตกคร่อมแต่ละชั้นเป็นสัดส่วนกับความต้านทานของชั้นนั้น
คำตอบ: P = 3.519 kW
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
คำตอบ: nout = 444.4 rpm
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
อัตราทดรวม = 2.16 : 1
คำตอบ: f(0.6) = 0.5888
การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)
คำตอบ: y(0.2) = 4.805
การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)
ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 6
คำตอบ: K = 2.25
พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)
กำลังสอง s² + βs + γ มีรากซ้ำเมื่อ β² = 4γ
คำตอบ: ωd = 4.213 rad/s
พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)
คำตอบ: ωn = 9.539 rad/s
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)
ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²
คำตอบ: K = 11.45
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)
คำตอบ: K = 20
ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ess = lims→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) และ Ka = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ ess = A/(1 + Kp) แรมป์ A·t ให้ A/Kv และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/Ka วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด
อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.559 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย
คำตอบ: Kp = 7.4
การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζωns + ωn² จากนั้น %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd โดย ωd = ωn√(1 − ζ²) และ ts ≈ 4/(ζωn)
1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 1)
พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical