สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 42 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA
คานรับแรงสองจุดมีหมุดที่ A และลูกกลิ้งที่ B หาปฏิกิริยาแนวดิ่งที่จุดรองรับ RA
แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 500 mm, E = 110 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.4 mm
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
เพลา อะลูมิเนียม ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm และยาว 3 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 0.5 m แรงบิด 2000 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
เพลากลวงส่งกำลัง 100 kW ที่ 1500 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
คานช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายรับโมเมนต์คู่ควบตามเข็มนาฬิกา M0 = 25 kN·m ที่ x = 4 m จาก A และไม่มีแรงอื่น จงหาโมเมนต์ดัด Mx ที่ตำแหน่งขวาของโมเมนต์คู่ควบเล็กน้อย ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าตัดด้านซ้ายเป็นบวก
หาโมเมนต์ดัด Mx ที่หน้าตัด x = 0.5 m จากจุดรองรับ A ให้โมเมนต์ที่ทำให้คานแอ่นลงเป็นบวก และแรงเฉือนที่ชี้ขึ้นบนหน้าซ้ายเป็นบวก
จุดหนึ่งมี σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa และ τₓᵧ = 50 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 15° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
คานยื่นยาว L ถูกยึดแน่นที่ A และรับแรงกระทำเป็นจุด P ที่ระยะ a = 1.5 m จาก A จงหาการโก่งตัว δB ที่ปลายอิสระ B
คานไม้ช่วงเดียวรองรับอย่างง่ายหน้าตัดสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 75 mm รับแรงกระทำแบบแผ่สม่ำเสมอ w ตลอดช่วงคาน การโก่งตัวที่กึ่งกลางช่วงคานต้องไม่เกิน ช่วงคาน/250 จงหาความลึกที่น้อยที่สุด hreq ของหน้าตัด
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
ยิงลูกบอลจากพื้นราบด้วย 28 m/s และต้องตกห่างออกไป 30 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² จงหามุมยิง θ ที่น้อยกว่าในสองค่าที่เป็นไปได้
ยิงลูกบอลด้วย 27 m/s ที่มุม 25° เหนือแนวนอนจากยอดหน้าผาสูง 35 m ไม่คิดแรงต้านอากาศและใช้ g = 9.81 m/s² ลูกบอลกระทบพื้นที่มุมเท่าใด α ต่ำกว่าแนวนอน
รถที่แล่นด้วย 80 km/h บนถนนราบเบรกอย่างแรงและไถลหยุดโดยล้อล็อก สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างยางกับถนนคือ 0.8 จงหาระยะหยุด d
รถเข็น 2 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 7.8 m บนรางเรียบที่นำเข้าสู่ลูปวงกลมแนวดิ่งรัศมี 3 m จงหาแรงตั้งฉาก N ที่รางกระทำต่อรถเข็นที่จุดสูงสุดของลูป
มวล 10 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 1 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.45 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
มวล 20 kg แขวนจากสปริง k₃ = 15 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 60 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz
เครื่องยนต์ความร้อนทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสูงที่ 350 °C และแหล่งความร้อนอุณหภูมิต่ำที่ 5 °C หาประสิทธิภาพเชิงความร้อนสูงสุดที่เป็นไปได้ ηmax
ปั๊มความร้อนส่งความร้อน 7.5 kW ให้ระบบทำความร้อนที่ 21 °C โดยดึงความร้อนจากแหล่งที่ 5 °C COP จริงของมันคือ 30% ของ COP คาร์โนต์ระหว่างอุณหภูมิเหล่านี้ จงหากำลังไฟฟ้า Ẇ ที่มันใช้
วัฏจักรดีเซลอุดมคติมีอัตราส่วนการอัด r = 22 และอัตราส่วนตัดตอน rc = v₃/v₂ = 1.5 เมื่อเริ่มอัด อากาศอยู่ที่ 305 K ใช้สมมติฐานอากาศมาตรฐานเย็น: อากาศเป็นแก๊สอุดมคติที่มีความจุความร้อนจำเพาะคงที่ k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) และ cv = 0.718 kJ/(kg·K) หาอุณหภูมิ T3 เมื่อสิ้นสุดการเพิ่มความร้อน ใน K
โรงไฟฟ้ากังหันแก๊สทำงานด้วยวัฏจักรเบรย์ตันที่อัตราส่วนความดันของคอมเพรสเซอร์ 6 อากาศเข้าคอมเพรสเซอร์ที่ 295 K และเข้ากังหันที่ 1200 K คอมเพรสเซอร์มีประสิทธิภาพไอเซนโทรปิก 88% และกังหัน 88% ใช้สมมติฐานอากาศมาตรฐานเย็น: อากาศเป็นแก๊สอุดมคติที่มีความจุความร้อนจำเพาะคงที่ k = 1.4, cp = 1.005 kJ/(kg·K) และ cv = 0.718 kJ/(kg·K) หางานสุทธิขาออก wnet ต่อกิโลกรัมของอากาศ ใน kJ/kg
น้ำไหลผ่านท่อแนวนอนที่แคบลงจาก 150 mm เป็น 75 mm ในช่วงกว้างความดันคือ 240 kPa และความเร็วคือ 2.25 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ในช่วงแคบ
น้ำไหลขึ้นผ่านท่อที่แคบลงจาก 100 mm เป็น 40 mm ขณะที่ยกสูงขึ้น 10 m ที่หน้าตัด 1 ความดันคือ 230 kPa และความเร็วคือ 0.5 m/s ไม่คิดการสูญเสีย หาความดัน p2 ที่หน้าตัด 2
น้ำไหลด้วย 25 L/s ผ่านท่อยาว 50 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.018 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 0.2) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 80 L/s
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s ต้านเฮด 16 m ขณะที่เพลาใช้ 11.8 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 80 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 29 m ท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ถังบนปิดและอากาศเหนือน้ำมีความดันเกจ 100 kPa หาเฮด H ที่ปั๊มต้องเพิ่มให้
ผนังประกอบด้วยโฟมพอลิสไตรีนขยายตัวหนา 200 mm และอิฐหนา 150 mm มีพื้นที่ 4 m² ผิวด้านนอกทั้งสองมีอุณหภูมิ 19 °C และ -4 °C หาอุณหภูมิ Ti ที่รอยต่อระหว่างสองชั้น
ผนังใยแร่หนา 200 mm และแผ่นยิปซัมหนา 50 mm กั้นระหว่างห้องที่ 22 °C กับอากาศภายนอกที่ -8 °C สัมประสิทธิ์การพาความร้อนคือ 10 W/(m²·K) ภายใน และ 25 W/(m²·K) ภายนอก และพื้นที่ผนังคือ 12 m² หาอุณหภูมิ Ts ของผิวด้านในของผนัง
มอเตอร์ 15 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 12 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 25 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 98% หาแรงบิดขาออก T2 บนเพลาของเฟือง
ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (15 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2900 rpm ขับเฟือง B (20 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout
F(s) = (3s + 1)/(s² + 7s + 6) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e−t + B·e−6t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย
ระบบเป็นไปตาม y″ + 10y′ + 24y = 72·u(t) โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 5 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.3)
พืช G(s) = 4/(s + 4) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 2 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 15 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาโพลวงปิด p
ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 12/(s + 1), G₂ = 5/(s + 7) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 4 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 0.2 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)
ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 5/(s² + 3s + 5) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 180/(s(s + 10)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ ts ≈ 4/(ζωₙ)
กระบวนการ G(s) = 0.5/(1s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 19 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว ess สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น
ตัวควบคุมสัดส่วน K = 10 ขับโรงงาน G(s) = 1/(s(s + 5)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด tp ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได
คำตอบ: RA = 72 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน
โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง
คำตอบ: RA = 13.75 kN
สมดุลสถิต: วัตถุที่อยู่นิ่งมี ΣFx = 0, ΣFy = 0 และ ΣM = 0 รอบจุดใดก็ได้ การหาโมเมนต์รอบจุดรองรับหนึ่งจะตัดปฏิกิริยาของจุดรองรับนั้นออกจากสมการ
แทนจุดรองรับด้วยแรงปฏิกิริยา ลูกกลิ้งให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรง เมื่อมีแต่น้ำหนักบรรทุกแนวดิ่ง หมุดก็ให้ปฏิกิริยาแนวดิ่งหนึ่งแรงเช่นกัน
โมเมนต์รอบจุด A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จากนั้นสมดุลของแรงแนวดิ่ง
คำตอบ: P = 74.48 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
คำตอบ: σmax = 422.8 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
คำตอบ: τmax = 159.2 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
คำตอบ: τmax = 34.13 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
คำตอบ: Mx = 15 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด โมเมนต์คู่ควบที่กระทำทำให้แผนภาพโมเมนต์ดัดกระโดดเท่ากับขนาดของโมเมนต์คู่ควบ
โมเมนต์รอบ A โดยให้ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก: RB·L − M0 = 0 สมดุลในแนวดิ่ง: RA + RB = 0
ตอนนี้ส่วนซ้ายมี RA และโมเมนต์คู่ควบ
คำตอบ: Mx = 11.25 kN·m
วิธีหน้าตัด: ตัดคานตรงจุดที่ต้องการหาแรงภายในแล้วเก็บไว้ด้านหนึ่ง แรงเฉือน V สมดุลกับแรงแนวดิ่งทางด้านนั้น และโมเมนต์ดัด M สมดุลกับโมเมนต์ของแรงเหล่านั้นรอบรอยตัด
สมดุลของคานทั้งตัว
มีเฉพาะแรงทางซ้ายของรอยตัดเท่านั้น ส่วนของน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอกระทำเป็นแรงเดียวที่กึ่งกลางของส่วนนั้น
คำตอบ: θs = −28.15 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
คำตอบ: σθ = 48.97 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
คำตอบ: δB = 56.25 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
การโก่งตัวที่แรงกระทำ บวกมุมลาดเอียงที่แรงกระทำคูณความยาวที่เหลือ
คำตอบ: hreq = 108.5 mm
การแอ่นตัวของคาน: ระยะแอ่นได้จากการอินทิเกรตความโค้ง M/(EI) สองครั้ง กรณีมาตรฐานมีตารางให้ เช่น PL³/(3EI) สำหรับคานยื่นที่รับแรงที่ปลาย และ 5wL⁴/(384EI) สำหรับคานรับแรงสองจุดที่รับน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอเต็มช่วง ระยะแอ่นจากน้ำหนักแต่ละตัวบวกกันได้ (การซ้อนทับ)
คำนวณเป็น N และ mm: P เป็น N, w เป็น N/mm (kN/m = N/mm), L เป็น mm, E เป็น N/mm² (GPa × 1000), I เป็น mm⁴
ในทางปฏิบัติ ให้เลือกความลึกมาตรฐานถัดไปที่สูงกว่าค่านี้
คำตอบ: Pcr = 10.15 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
คำตอบ: σcr = 49.35 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
คำตอบ: θ = 11.02 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
คำตอบอีกค่าหนึ่งคือ 90° − θ = 78.98°
คำตอบ: α = 49.43 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
พลังงาน หรือ v² = v₀² + 2as ในแนวดิ่ง
คำตอบ: d = 31.46 m
หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d)
การเพิ่มอัตราเร็วเป็นสองเท่าทำให้ระยะหยุดยาวขึ้นสี่เท่า
คำตอบ: N = 3.924 N
หลักการงาน–พลังงาน: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานที่แรงทั้งหมดกระทำ เมื่อเขียนแรงโน้มถ่วงและสปริงเป็นพลังงานศักย์ (mgh และ ½kx²) จะได้สมดุลว่า พลังงานเริ่มต้น = พลังงานสุดท้าย + พลังงานที่สูญเสียไปกับแรงเสียดทาน (μN·d) บนทางโค้งวงกลม แรงลัพธ์ในทิศทางสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับ mv²/r
รถเข็นผ่านลูปไปได้พอดีเมื่อ h = 2.5R ซึ่งที่จุดสูงสุด N = 0
คำตอบ: fd = 1.421 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
คำตอบ: fn = 4.089 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
มีเพียง k1 และ k2 ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k3 จึงรวมแบบส่วนกลับ
คำตอบ: ηmax = 55.36 %
ขีดจำกัดจากกฎข้อที่สอง: ไม่มีวัฏจักรใดที่ทำงานระหว่างแหล่งความร้อนอุณหภูมิสัมบูรณ์ TH และ TL ที่ดีกว่าวัฏจักรผันกลับได้ (วัฏจักรคาร์โนต์): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) และ COPHP,max = TH/(TH − TL) พลังงานอนุรักษ์เสมอ: QH = W + QL
คำตอบ: Ẇ = 1.36 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
คำตอบ: T3 = 1575 K
วัฏจักรดีเซล (เครื่องยนต์จุดระเบิดด้วยการอัด): 1→2 อัดแบบไอเซนโทรปิก 2→3 เพิ่มความร้อนที่ความดันคงที่ 3→4 ขยายตัวแบบไอเซนโทรปิก 4→1 คายความร้อนที่ปริมาตรคงที่ เมื่ออัตราส่วนการอัด r = v₁/v₂ และอัตราส่วนตัดตอน rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) และ η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1))
คำตอบ: wnet = 200 kJ/kg
วัฏจักรเบรย์ตัน (กังหันแก๊ส): 1→2 อัดแบบไอเซนโทรปิก 2→3 เพิ่มความร้อนที่ความดันคงที่ 3→4 ขยายตัวแบบไอเซนโทรปิกในกังหัน 4→1 คายความร้อนที่ความดันคงที่ เมื่ออัตราส่วนความดัน rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k และ η = 1 − 1/rp(k−1)/k งานสุทธิ w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)] เมื่อมีประสิทธิภาพไอเซนโทรปิก คอมเพรสเซอร์ต้องใช้ ws/ηc และกังหันให้ ηt·ws
อัตราส่วนงานย้อนกลับ: wc/wt = 52.97%
คำตอบ: p2 = 202 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
คำตอบ: p2 = 127.1 kPa
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี: สำหรับของไหลที่อัดตัวไม่ได้ อัตราการไหลเท่ากันทุกหน้าตัด Q = A₁v₁ = A₂v₂ ตามเส้นกระแสที่ไม่มีการสูญเสีย p + ½ρv² + ρgz เป็นค่าคงตัว ดังนั้นตรงที่ของไหลเร็วขึ้นหรืออยู่สูงขึ้น ความดันจะต่ำลง
คำนวณเป็น Pa แล้วหารด้วย 1000 เพื่อให้ได้ kPa
คำตอบ: hf = 0.05817 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
คำตอบ: Δz = 6.908 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
คำตอบ: η = 79.81 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
คำตอบ: H = 60.02 m
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ผิวทั้งสองแทบจะนิ่ง จึงไม่มีพจน์เฮดความเร็ว
คำตอบ: Ti = −3.191 °C
ความต้านทานความร้อน: การไหลของความร้อนที่สภาวะคงตัวผ่านชั้นต่าง ๆ ที่เรียงต่อกันทำงานเหมือนกระแสผ่านตัวต้านทานอนุกรม: Q̇ = ΔT/ΣR โดย R = L/(kA) สำหรับชั้นที่นำความร้อน และ R = 1/(hA) สำหรับผิวที่มีการพาความร้อน อุณหภูมิที่ตกคร่อมแต่ละชั้นเป็นสัดส่วนกับความต้านทานของชั้นนั้น
อุณหภูมิลดลงข้ามชั้นแรกเท่ากับ Q̇·R₁
คำตอบ: Ts = 21.45 °C
ความต้านทานความร้อน: การไหลของความร้อนที่สภาวะคงตัวผ่านชั้นต่าง ๆ ที่เรียงต่อกันทำงานเหมือนกระแสผ่านตัวต้านทานอนุกรม: Q̇ = ΔT/ΣR โดย R = L/(kA) สำหรับชั้นที่นำความร้อน และ R = 1/(hA) สำหรับผิวที่มีการพาความร้อน อุณหภูมิที่ตกคร่อมแต่ละชั้นเป็นสัดส่วนกับความต้านทานของชั้นนั้น
คำตอบ: T2 = 203.1 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
คำตอบ: nout = 652.5 rpm
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
อัตราทดรวม = 4.444 : 1
คำตอบ: A = −0.4
การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)
คูณด้วย (s + 1) และตั้ง s = −1: พจน์ B หายไป
คำตอบ: y(0.3) = 8.697
การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lims→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)
ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 4
คำตอบ: p = −72
พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)
คำตอบ: T(0) = 1.538
พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + Kp) โดย Kp = G(0)
คำตอบ: ζ = 0.6708
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)
ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²
คำตอบ: ts = 0.8 s
การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jωd โดย ωd = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) เวลาถึงจุดสูงสุด tp = π/ωd และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)
สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง
คำตอบ: ess = 9.524 %
ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย ess = lims→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) และ Ka = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ ess = A/(1 + Kp) แรมป์ A·t ให้ A/Kv และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/Ka วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด
คำตอบ: tp = 1.622 s
การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζωns + ωn² จากนั้น %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd โดย ωd = ωn√(1 − ζ²) และ ts ≈ 4/(ζωn)
นี่คือสื่อฝึกหัดอิสระ ExamProblems ไม่ได้สังกัดหรือได้รับการรับรองจากองค์กรที่จัดสอบ และใช้ชื่อการสอบเพื่ออธิบายเนื้อหาเท่านั้น การสอบ FE exam จัดโดย NCEES ซึ่งไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ ExamProblems และไม่ได้รับรอง ExamProblems
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical