แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
วิศวกรรมชลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
- สมการแมนนิง
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- อัตราการไหล
- Q = A·V
- รัศมีไฮดรอลิก
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- A = b·y, P = b + 2y
- สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ
- R = D/4
- ความลาดชันที่ต้องการ
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1.5 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำทะเล โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
น้ำไหลผ่านเวนจูรีมิเตอร์แนวนอนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางทางเข้า 80 mm และเส้นผ่านศูนย์กลางคอคอด 40 mm ความดันที่ทางเข้าสูงกว่าที่คอคอด 13 kPa ไม่คิดการสูญเสีย จงหาอัตราการไหล Q
d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 13 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
หัวฉีดน้ำพุชี้ขึ้นตรง ๆ ใต้หัวฉีดเล็กน้อย ท่อจ่ายมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 100 mm และความดันเกจ 120 kPa เส้นผ่านศูนย์กลางทางออกของหัวฉีดคือ 20 mm และผลต่างความสูงคร่อมหัวฉีดน้อยมากจนละเลยได้ ไม่คิดการสูญเสียและแรงต้านอากาศ จงหาความสูง H ที่ลำน้ำพุ่งขึ้นเหนือหัวฉีด ใช้ g = 9.81 m/s²
d1 = 100 mmp1 = 120 kPa (เกจ)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วยความเร็วเฉลี่ย 2.3 m/s ผ่านท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.028 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
V = 2.3 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 2 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 5) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 50 L/s
Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s ต้านเฮด 22 m ขณะที่เพลาใช้ 15.8 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
Q = 60 L/sH = 22 mPshaft = 15.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 20 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 13 m ท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 6 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 80% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 20 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 6η = 80%
Pshaft = kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง
ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตไม่เรียบกว้าง 5 m น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 1.4 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.0005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s
b = 5 my = 1.4 mn = 0.014S = 0.0005
Q = m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก
ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตไม่เรียบกว้าง 1.5 m ต้องรองรับ 3.8 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 1.3 m แมนนิง n = 0.014 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)
Q = 3.8 m³/sb = 1.5 my = 1.3 mn = 0.014
S = m/m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 98.1 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·2 = 98.1 kN
คำตอบ
F = 98.1 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 15.08 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1·1.5 = 15.08 kN
คำตอบ
F = 15.08 kN
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 6.618 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความต่อเนื่อง
v1 = v2·(40/80)² = 0.25·v2
เบอร์นูลลีระหว่างทางเข้ากับคอคอด
ท่ออยู่ในแนวนอน จึงมีเพียงความดันและความเร็วที่เปลี่ยน
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·13000/(1000·(1 − 0.0625))) = 5.266 m/s
v1 = 1.317 m/s
อัตราการไหล
Q = A2·v2 = 0.001257·5.266 = 0.006618 m³/s = 6.618 L/s
คำตอบ
Q = 6.618 L/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: H = 12.25 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ความเร็วที่ทางออก
β = 20/100 = 0.2
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0.9984)) = 15.5 m/s
ความสูงของลำน้ำ
เบอร์นูลลีตามลำน้ำ: ที่จุดสูงสุดความเร็วเป็นศูนย์และความดันกลับเป็นความดันบรรยากาศ
H = v2²/(2g) = 15.5²/(2·9.81) = 12.25 m
คำตอบ
H = 12.25 m
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 60.4 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.05)·2.3²/(2·9.81) = 60.4 m
คำตอบ
hf = 60.4 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δz = 14.87 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.022·200/0.15 = 29.33
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
การสูญเสียเฮดรวม
hf = 29.33·0.408 = 11.97 m
hm = 7.1·0.408 = 2.897 m
Δz = hf + hm = 14.87 m
คำตอบ
Δz = 14.87 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: η = 81.96 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·22 = 12.95 kW
ประสิทธิภาพ
η = Ph/Pshaft = 12.95/15.8 = 81.96%
คำตอบ
η = 81.96%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 4.89 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0.3305 = 6.941 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 13 + 6.941 = 19.94 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·19.94/0.8 = 4.89 kW
คำตอบ
Pshaft = 4.89 kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: Q = 10.4 m³/s
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
เรขาคณิต
A = b·y = 5·1.4 = 7 m²
P = b + 2y = 5 + 2·1.4 = 7.8 m
R = A/P = 0.8974 m
ความเร็ว
V = (1/0.014)·0.89742/3·0.00051/2 = 1.486 m/s
อัตราการไหล
Q = A·V = 7·1.486 = 10.4 m³/s
คำตอบ
Q = 10.4 m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: S = 0.002005 m/m
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
เรขาคณิต
A = b·y = 1.5·1.3 = 1.95 m²
P = b + 2y = 1.5 + 2·1.3 = 4.1 m
R = A/P = 0.4756 m
แก้สมการแมนนิงหา S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·3.8/(1.95·0.6093) = 0.04478
S = 0.04478² = 0.002005
คำตอบ
S = 0.002005
นั่นคือท้องน้ำลดลง 2.005 m ต่อกิโลเมตร
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering