แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
วิศวกรรมชลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
- สมการแมนนิง
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- อัตราการไหล
- Q = A·V
- รัศมีไฮดรอลิก
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- A = b·y, P = b + 2y
- สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ
- R = D/4
- ความลาดชันที่ต้องการ
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 3 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุกลีเซอรีน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 3 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 3 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
ท่อพิโตต์สแตติกในท่อน้ำอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 20 kPa จงหาความเร็วของน้ำ v ที่ปลายท่อ
p0 − p = 20 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
เวนจูรีมิเตอร์แนวนอน (ทางเข้า 100 mm คอคอด 50 mm) ส่งน้ำ มาโนมิเตอร์ปรอทรูปตัว U ต่อระหว่างทางเข้ากับคอคอดแสดงผลต่างระดับ 150 mm สัมประสิทธิ์การไหลออกคือ 0.97 จงหาอัตราการไหล Q ใช้ ρ = 1000 kg/m³ สำหรับน้ำ 13 600 kg/m³ สำหรับปรอท และ g = 9.81 m/s²
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 150 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 6 L/s ผ่านท่อยาว 200 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 50 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 6 L/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 100 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 3 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 20 L/s
Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 30 L/s ต้านเฮด 80 m ขณะที่เพลาใช้ 31.4 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
Q = 30 L/sH = 80 mPshaft = 31.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 50 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 37 m ท่อยาว 400 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 150 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.02 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 8 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 70% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 50 L/sΔz = 37 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง
ท่อระบายน้ำฝนคอนกรีตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 750 mm ไหลเต็มท่อพอดี (เป็นทางน้ำเปิด ไม่ใช่ภายใต้ความดัน) แมนนิง n = 0.013 และความลาดชันคือ S = 0.005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s
D = 750 mmn = 0.013S = 0.005
Q = m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก
ท่อระบายน้ำคอนกรีตเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 450 mm (แมนนิง n = 0.013) ต้องมีความเร็วชะล้างตัวเอง 0.75 m/s เมื่อไหลเต็มท่อพอดี หาความลาดชันต่ำสุด S (ใน m/m)
D = 450 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 103 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN
คำตอบ
F = 103 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 3.8 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3.75·1.5 = 69.53 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 0.2813/(3.75·1.5) = 3.8 m
คำตอบ
ycp = 3.8 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: v = 6.325 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง
การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·20000/1000) = 6.325 m/s
คำตอบ
v = 6.325 m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 11.98 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ผลต่างความดันจากมาโนมิเตอร์
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.15 = 18541 Pa
ความเร็วที่คอคอด
สมการความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีรวมกันให้ความเร็วที่คอคอดอุดมคติ
β = 50/100 = 0.5
v2 = √(2·18541/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.289 m/s
อัตราการไหลจริง
Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.001963·6.289 = 0.01198 m³/s = 11.98 L/s
คำตอบ
Q = 11.98 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 38.07 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.006/0.001963 = 3.056 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 3.056²/(2·9.81) = 0.4759 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.05)·3.056²/(2·9.81) = 38.07 m
คำตอบ
hf = 38.07 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δz = 10.71 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.02·100/0.1 = 20
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4
การสูญเสียเฮดรวม
hf = 20·0.3305 = 6.61 m
hm = 12.4·0.3305 = 4.098 m
Δz = hf + hm = 10.71 m
คำตอบ
Δz = 10.71 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: η = 74.98 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·80 = 23.54 kW
ประสิทธิภาพ
η = Ph/Pshaft = 23.54/31.4 = 74.98%
คำตอบ
η = 74.98%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 43.46 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53.33 + 8)·0.408 = 25.03 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 37 + 25.03 = 62.03 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·62.03/0.7 = 43.46 kW
คำตอบ
Pshaft = 43.46 kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: Q = 0.7872 m³/s
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
เรขาคณิต
A = 0.4418 m², R = D/4 = 0.1875 m
ความเร็ว
V = (1/0.013)·0.18752/3·0.0051/2 = 1.782 m/s
อัตราการไหล
Q = A·V = 0.4418·1.782 = 0.7872 m³/s
คำตอบ
Q = 0.7872 m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: S = 0.00175 m/m
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
รัศมีไฮดรอลิก
R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m
แก้สมการแมนนิงหา S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.233)² = 0.00175
คำตอบ
S = 0.00175
นั่นคือท้องน้ำลดลง 1.75 m ต่อกิโลเมตร
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering