แรงจากความดันของไหลนิ่ง
- ความดันที่ความลึกหนึ่ง
- p = ρgh
- แรงที่กระทำต่อผนังแนวดิ่ง
- F = ρg·hc·A
- จุดศูนย์กลางความดัน
- yp = yc + Ic/(ycA)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- Ic = bH³/12
วิศวกรรมชลศาสตร์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 10 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
- ความต่อเนื่อง
- A1v1 = A2v2
- เบอร์นูลลี
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- อัตราการไหล
- Q = A·v
- พื้นที่วงกลม
- A = πd²/4
แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
- เลขเรย์โนลดส์
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- ระบอบการไหล
- ราบเรียบต่ำกว่า Re ≈ 2000 ปั่นป่วนสูงกว่า Re ≈ 4000
- ความเร็วเฉลี่ย
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ดาร์ซี–ไวส์บาค
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- การสูญเสียย่อย
- hm = ΣK·V²/(2g)
- ค่า K ทั่วไป
- ทางเข้า 0.5 ทางออก 1.0 ข้องอ 90° ≈ 0.3
- ความดันตก
- Δp = ρ·g·hf
- อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่ง
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- ทางออกอิสระ
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ปั๊มและกำลังของปั๊ม
- กำลังไฮดรอลิก
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- กำลังที่เพลา
- Pshaft = Ph/ηpump
- กำลังไฟฟ้า
- Pel = Pshaft/ηmotor
- เฮดของปั๊ม
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- การสูญเสียในระบบ
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
- สมการแมนนิง
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- อัตราการไหล
- Q = A·V
- รัศมีไฮดรอลิก
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- สี่เหลี่ยมผืนผ้า
- A = b·y, P = b + 2y
- สี่เหลี่ยมคางหมู (ความลาดข้าง z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- ท่อกลม เต็มหรือครึ่งท่อ
- R = D/4
- ความลาดชันที่ต้องการ
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2โจทย์ฝึก
1.แรงจากความดันของไหลนิ่งปานกลาง
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 1 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำ โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 0.5 m หาแรงลัพธ์จากความดันของไหล F ที่กระทำต่อประตูน้ำ
d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่งยาก
ประตูน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าแนวดิ่งกว้าง 2 m อยู่ที่ผนังถังที่บรรจุน้ำมัน โดยขอบบนอยู่ต่ำกว่าผิว 4 m หาความลึก ycp ของจุดศูนย์กลางความดันใต้ผิว
d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลีปานกลาง
ท่อพิโตต์สแตติกในท่อน้ำอ่านผลต่างระหว่างความดันหยุดนิ่งกับความดันสถิตได้ 12 kPa จงหาความเร็วของน้ำ v ที่ปลายท่อ
p0 − p = 12 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลียาก
ถังน้ำปิดมีอากาศอัดอยู่เหนือน้ำที่ความดันเกจ 190 kPa น้ำออกทางช่องเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ซึ่งอยู่ต่ำกว่าผิวน้ำ 1 m สู่อากาศภายนอก ไม่คิดการสูญเสีย จงหา อัตราการไหล Q ใช้ g = 9.81 m/s²
pair = 190 kPa (เกจ)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียปานกลาง
น้ำไหลด้วย 60 L/s ผ่านท่อยาว 500 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 300 mm ใช้ตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 และ g = 9.81 m/s² หาการสูญเสียเฮดจากความเสียดทาน hf
Q = 60 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสียยาก
อ่างเก็บน้ำเปิดสองแห่งเชื่อมด้วยท่อยาว 100 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 250 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.015 การสูญเสียย่อยคือทางเข้าขอบคม (K = 0.5) ข้องอ 4 ตัว (ตัวละ K = 0.3) วาล์ว (K = 10) และทางออกสู่อ่างล่าง (K = 1.0) ใช้ g = 9.81 m/s² ผลต่างระดับน้ำ Δz ระหว่างอ่างทั้งสองเท่าใดจึงให้อัตราการไหล 50 L/s
Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊มปานกลาง
ในการทดสอบ ปั๊มส่งน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 15 L/s ต้านเฮด 80 m ขณะที่เพลาใช้ 15.1 kW ใช้ g = 9.81 m/s² หาประสิทธิภาพปั๊ม η เป็นเปอร์เซ็นต์
Q = 15 L/sH = 80 mPshaft = 15.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ปั๊มและกำลังของปั๊มยาก
ปั๊มสูบน้ำ (ρ = 1000 kg/m³) 60 L/s จากอ่างล่างแบบเปิดไปยังถังบนที่ผิวน้ำสูงกว่า 12 m ท่อยาว 150 m เส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 200 mm และตัวประกอบความเสียดทานดาร์ซี f = 0.022 ส่วนสัมประสิทธิ์การสูญเสียย่อยรวมกันเป็น ΣK = 5 (รวมทางเข้าและทางออกแล้ว) ใช้ g = 9.81 m/s² ประสิทธิภาพปั๊มคือ 85% หากำลังที่เพลา Pshaft ใน kW
Q = 60 L/sΔz = 12 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 5η = 85%
Pshaft = kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ปานกลาง
ทางน้ำสี่เหลี่ยมคางหมูคอนกรีตไม่เรียบมีความกว้างก้น 3.5 m และความลาดข้าง 2:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง) น้ำไหลสม่ำเสมอลึก 0.5 m แมนนิง n = 0.014 และความลาดชันท้องน้ำ S = 0.005 หาอัตราการไหล Q ใน m³/s
b = 3.5 my = 0.5 mz = 2n = 0.014S = 0.005
Q = m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)ยาก
ทางน้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้าคอนกรีตเรียบกว้าง 2.5 m ต้องรองรับ 12 m³/s ในการไหลสม่ำเสมอที่ความลึก 2.4 m แมนนิง n = 0.012 หาความลาดชันท้องน้ำที่ต้องการ S (ใน m/m)
Q = 12 m³/sb = 2.5 my = 2.4 mn = 0.012
S = m/m
3สารละลาย
1.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: F = 58.86 kN
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN
คำตอบ
F = 58.86 kN
2.แรงจากความดันของไหลนิ่ง
คำตอบ: ycp = 5.067 m
แรงจากความดันของไหลบนพื้นผิวระนาบ: F = ρ·g·yc·A กระทำที่จุดศูนย์กลางความดัน ycp = yc + Ic/(ycA) ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเซนทรอยด์เสมอ
ความลึกของเซนทรอยด์และพื้นที่
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
แรงลัพธ์
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·5·4 = 172.7 kN
จุดศูนย์กลางความดัน
ความดันเพิ่มขึ้นตามความลึก แรงลัพธ์จึงกระทำต่ำกว่าเซนทรอยด์
Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5 + 1.333/(5·4) = 5.067 m
คำตอบ
ycp = 5.067 m
3.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: v = 4.899 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
เบอร์นูลลีถึงจุดหยุดนิ่ง
การไหลหยุดนิ่งที่ปลายท่อ พลังงานจลน์จึงปรากฏเป็นความดันที่เพิ่มขึ้น
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·12000/1000) = 4.899 m/s
คำตอบ
v = 4.899 m/s
4.ความต่อเนื่องและเบอร์นูลลี
คำตอบ: Q = 9.813 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
เบอร์นูลลีจากผิวน้ำถึงลำน้ำ
v = √(2·(190000/1000 + 9.81·1)) = 19.99 m/s
อัตราการไหล
Q = A·v = 0.0004909·19.99 = 0.009813 m³/s = 9.813 L/s
คำตอบ
Q = 9.813 L/s
5.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: hf = 1.347 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็วเฉลี่ย
A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s
เฮดความเร็ว
V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m
ดาร์ซี–ไวส์บาค
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 1.347 m
คำตอบ
hf = 1.347 m
6.แรงเสียดทานในท่อและเฮดสูญเสีย
คำตอบ: Δz = 0.9889 m
การไหลในท่อ: เลขเรย์โนลดส์ Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ บอกการไหลแบบราบเรียบ (Re ต่ำกว่าประมาณ 2000) จากแบบปั่นป่วน (สูงกว่าประมาณ 4000) ความเสียดทานตามท่อทำให้เกิดการสูญเสียเฮดแบบดาร์ซี–ไวส์บาค hf = f·(L/D)·V²/(2g) ข้อต่อ วาล์ว ทางเข้า และทางออกเพิ่มการสูญเสียย่อย hm = ΣK·V²/(2g) ระหว่างผิวน้ำของอ่างเปิดสองแห่ง สมการพลังงานให้ Δz = hf + hm โดยรวมการสูญเสียที่ทางออก K = 1 ด้วย
ความเร็ว
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
สัมประสิทธิ์การสูญเสีย
f·L/D = 0.015·100/0.25 = 6
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
การสูญเสียเฮดรวม
hf = 6·0.05288 = 0.3173 m
hm = 12.7·0.05288 = 0.6716 m
Δz = hf + hm = 0.9889 m
คำตอบ
Δz = 0.9889 m
7.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: η = 77.96 %
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
กำลังไฮดรอลิก
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·80 = 11.77 kW
ประสิทธิภาพ
η = Ph/Pshaft = 11.77/15.1 = 77.96%
คำตอบ
η = 77.96%
8.ปั๊มและกำลังของปั๊ม
คำตอบ: Pshaft = 11.08 kW
กำลังปั๊ม: กำลังที่ให้แก่น้ำคือกำลังไฮดรอลิก Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp เพลาต้องส่งกำลังมากกว่านั้นเพราะปั๊มสูญเสียบางส่วน: Pshaft = Ph/ηpump และมอเตอร์ดึง Pel = Pshaft/ηmotor เฮดของปั๊ม H ได้จากสมการพลังงาน: ความสูงยกสถิต + เฮดความดัน + การสูญเสียจากความเสียดทานและการสูญเสียย่อยทั้งหมด
ความเร็ว
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
การสูญเสียเฮด
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 5)·0.1859 = 3.997 m
เฮดของปั๊ม
H = Δz + hL = 12 + 3.997 = 16 m
กำลังที่เพลา
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·16/0.85 = 11.08 kW
คำตอบ
Pshaft = 11.08 kW
9.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: Q = 6.09 m³/s
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
เรขาคณิต
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·0.5)·0.5 = 2.25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·0.5·√(1 + 2²) = 5.736 m
R = A/P = 0.3923 m
ความเร็ว
V = (1/0.014)·0.39232/3·0.0051/2 = 2.706 m/s
อัตราการไหล
Q = A·V = 2.25·2.706 = 6.09 m³/s
คำตอบ
Q = 6.09 m³/s
10.การไหลในช่องเปิด (แมนนิง)
คำตอบ: S = 0.0007481 m/m
สมการแมนนิง (SI): สำหรับการไหลสม่ำเสมอในทางน้ำเปิด V = (1/n)·R2/3·S1/2 และ Q = A·V โดย n คือสัมประสิทธิ์ความขรุขระ S คือความลาดชันท้องน้ำ (m/m) และ R = A/P คือรัศมีไฮดรอลิก: พื้นที่การไหลหารด้วยเส้นรอบเปียก มีเพียงขอบเขตที่สัมผัสน้ำเท่านั้นที่นับใน P ไม่นับผิวน้ำ สี่เหลี่ยมผืนผ้า: A = b·y, P = b + 2y สี่เหลี่ยมคางหมูที่ความลาดข้าง z:1 (แนวนอน:แนวดิ่ง): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²) ท่อกลมที่ไหลเต็มหรือครึ่งท่อมี R = D/4
เรขาคณิต
A = b·y = 2.5·2.4 = 6 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·2.4 = 7.3 m
R = A/P = 0.8219 m
แก้สมการแมนนิงหา S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·12/(6·0.8774) = 0.02735
S = 0.02735² = 0.0007481
คำตอบ
S = 0.0007481
นั่นคือท้องน้ำลดลง 0.7481 m ต่อกิโลเมตร
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering