การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 32 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 45 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 7.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 32N₂ = 45η = 100%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 1450 rpm กับพูลเลย์ 500 mm ศูนย์กลางห่างกัน 800 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.25 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 2000 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 500 mmC = 800 mmμ = 0.25T₁ = 2000 N

P = kW

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 500 N·md = 50 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 500 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 2 m และห่างจาก B 2.5 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา T_A ที่ผนัง A

d = 20 mmT₀ = 500 N·ma = 2 mb = 2.5 m

T_A = N·m

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 40 MPa และ σᵧ = −60 MPa ความเค้นเฉือน τ_xy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 55 MPa

σ_x = 40 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 20 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 200 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 120 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 50 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaท่อ: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 50 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 8 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 380 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 50 kgk = 8 kN/mc = 380 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริง k₃ = 15 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 5 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 49.74 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150.8 = 49.74 N·m

คำตอบ

T₁ = 49.74 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 7.329 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.636 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.6591 = 1.933, T₂ = 2000/1.933 = 1035 N

กำลัง

P = (2000 − 1035)·7.592 = 7.329 kW

คำตอบ

P = 7.329 kW

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 3.591 °

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(39000·613592) = 0.06268 rad

φ = 0.06268·180/π = 3.591°

คำตอบ

φ = 3.591°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: T_A = 277.8 N·m

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง T_A + T_B = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2.5/4.5 = 277.8 N·m

T_B = 500·2/4.5 = 222.2 N·m

คำตอบ

T_A = 277.8 N·m

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_xy = 41.53 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีที่ต้องการ

C = (40 + (−60))/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 55 − (−10) = 65 MPa

ความเค้นเฉือน

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 50²) = 41.53 MPa

คำตอบ

τ_xy = 41.53 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = 79.66 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 30 + 90·0.766 + 30·−0.6428 = 79.66 MPa

คำตอบ

σ_θ = 79.66 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.8731 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/70000 = 0.0005821 = 582.1 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0005821·1500 mm = 0.8731 mm

คำตอบ

δ = 0.8731 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 432 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.001, 0.0004167) = 0.0004167 (ทองแดง)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0004167·1.037 × 10⁹ = 431969 N = 432 kN

คำตอบ

P_max = 432 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 134.8 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134.8 kN

คำตอบ

P_cr = 134.8 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 17.27 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

คำตอบ

σ_cr = 17.27 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3004

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·50) = 1265 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 380/1265 = 0.3004

คำตอบ

ζ = 0.3004

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.647 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 30 + 5 = 35 kN/m

k_eq = 35·15/(35 + 15) = 10.5 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(10500/20) = 22.91 rad/s

f_n = 22.91/(2π) = 3.647 Hz

คำตอบ

f_n = 3.647 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design