การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 48 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 2 mm และอัตราทดความเร็ว 2 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N₁

a = 48 mmm = 2 mmi = 2

N₁ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 12 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1500 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 12N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง อะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 75 mm ภายใน 53 mm ยาว 1.5 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 250 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 250 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 50 kW ที่ 1000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = −60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 250 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σ_x = −60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 25 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaท่อ: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 40 mm ตามด้วยยอด 27.4 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 40 mmx₂ = 27.4 mmn = 2

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 20 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 12 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₁ = 16

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·48/2 = 48

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

คำตอบ

N₁ = 16

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 346.2 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·12/52 = −346.2 rpm

|n_r| = 346.2 rpm

คำตอบ

n_r = 346.2 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.3544 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

มุมบิด

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·2.332 × 10⁶) = 0.006186 rad

φ = 0.006186·180/π = 0.3544°

คำตอบ

φ = 0.3544°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 6.25 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·40/3.056 × 10⁶ = 6.25 MPa

คำตอบ

τ_max = 6.25 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 50 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = −60 MPa, R = √(0² + 40²) = 40 MPa

σ₁ = −20 MPa, σ₂ = −100 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80, 20, 100)/2 = 50 MPa

คำตอบ

τ_abs = 50 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 1.952

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −10 MPa, R = 64.03 MPa

σ₁ = 54.03 MPa, σ₂ = −74.03 MPa, σ₃ = 0

เทรสกา

σ_max − σ_min = 128.1 MPa

n = 250/128.1 = 1.952

คำตอบ

n = 1.952

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.011 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706.9 = 35.37 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 35.37/70000 = 0.0005053 = 505.3 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0005053·2000 mm = 1.011 mm

คำตอบ

δ = 1.011 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 473.5 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0007273·6.511 × 10⁸ = 473524 N = 473.5 kN

คำตอบ

P_max = 473.5 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 3.29 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/4000² = 3290 N = 3.29 kN

คำตอบ

P_cr = 3.29 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 27.76 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa

คำตอบ

σ_cr = 27.76 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.03009

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(40/27.4) = 0.1892

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1892/√(39.48 + 0.03578) = 0.03009

คำตอบ

ζ = 0.03009

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.757 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/20 + 1/12 → k_eq = 20·12/(20 + 12) = 7.5 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(7500/25) = 17.32 rad/s

f_n = 17.32/(2π) = 2.757 Hz

คำตอบ

f_n = 2.757 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design