การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

พูลเลย์ 200 mm ที่ 960 rpm ขับพูลเลย์ 500 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 1 % จงหาความเร็ว n₂ ของพูลเลย์ตาม

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (20 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 3000 rpm และขับเฟือง B (50 ฟัน) เฟือง C (15 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 375 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 3000 rpmA = 20B = 50C = 15n_out = 375 rpm

N_D =

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 400 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 10 kW ที่ 500 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 40 MPa และ σᵧ = 40 MPa ความเค้นเฉือน τ_xy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 65 MPa

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 65 MPa

τ_xy = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 30 kN ร่วมกับแรงบิด 1000 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ₁

d = 60 mmF = −30 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 300 kN จงหาระยะหด δ

P = 300 kNแท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 115 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 80 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 80 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 2 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 100 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 270 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 270 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริง k₃ = 60 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 50 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n₂ = 380.2 rpm

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น

960·200/500 = 384 rpm

เมื่อมีการลื่น

n₂ = 384·0.99 = 380.2 rpm

คำตอบ

n₂ = 380.2 rpm

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 3000·20/50 = 1200 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 15·1200/375 = 48

คำตอบ

N_D = 48

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 2.85 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·251327) = 0.04974 rad

φ = 0.04974·180/π = 2.85°

คำตอบ

φ = 2.85°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 25.74 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/148384 = 25.74 MPa

คำตอบ

τ_max = 25.74 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_xy = 25 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีที่ต้องการ

C = (40 + 40)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 65 − 40 = 25 MPa

ความเค้นเฉือน

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 0²) = 25 MPa

คำตอบ

τ_xy = 25 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ₁ = 18.86 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = F/A = −30000/(π·60²/4) = −30000/2827 = −10.61 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23.58 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = −5.305 MPa

R = √((−5.305)² + 23.58²) = 24.17 MPa

σ₁ = C + R = 18.86 MPa

σ₂ = C − R = −29.47 MPa

คำตอบ

σ₁ = 18.86 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.445 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 300000·600/4.045 × 10⁸ = 0.445 mm

คำตอบ

δ = 0.445 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 22.42 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 162.7 MPa

σ₂ = 1017 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162.7·1500/117000 = 2.086 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·2000/100000 = 20.34 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 22.42 mm

คำตอบ

δ = 22.42 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 154.3 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1500 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154.3 kN

คำตอบ

P_cr = 154.3 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 59.93 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·80000 = 200000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59.93 mm

คำตอบ

d = 59.93 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 166.9 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3019

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894.4 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 270/894.4 = 0.3019

คำตอบ

ζ = 0.3019

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 6.214 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 12 + 50 = 62 kN/m

k_eq = 62·60/(62 + 60) = 30.49 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(30492/20) = 39.05 rad/s

f_n = 39.05/(2π) = 6.214 Hz

คำตอบ

f_n = 6.214 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design