การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 1450 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 16 ฟันและโมดูล 5 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 1.5 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (36 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1500 rpm ขับเฟือง B (48 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (48 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1500 rpmA = 36B = 48C = 20D = 48

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 400 N·md = 50 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดที่ A แรงบิด 100 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1.2 m และแรงบิด 500 N·m ในทิศทางเดียวกันกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.5 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 500 N·mAB = 1.2 mBC = 0.5 m

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm รับ โมเมนต์ดัด 100 N·m ร่วมกับแรงบิด 750 N·m ที่ผิวด้านบน ซึ่งความเค้นดัดเป็นแรงดึงและมีค่ามากที่สุด จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ₁

d = 40 mmM = 100 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองแดงภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 90 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 115 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 110 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 110 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 7.6 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 50 mmx₅ = 7.6 mmn = 5

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 30 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 247 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 1500/151.8 = 9.879 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 5·16 = 80 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·9.879/0.08 = 247 N

คำตอบ

F_t = 247 N

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 468.8 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1500·36/48 = 1125 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1125·20/48 = 468.8 rpm

คำตอบ

n_out = 468.8 rpm

อัตราทดรวม = 3.2 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.7183 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·613592) = 0.01254 rad

φ = 0.01254·180/π = 0.7183°

คำตอบ

φ = 0.7183°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 113.2 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 100 = 600 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 600 N·m

τ_max = 16·600000/(π·30³) = 113.2 MPa

คำตอบ

τ_max = 113.2 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 63.03 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 90 MPa, R = √(20² + 30²) = 36.06 MPa

σ₁ = 126.1 MPa, σ₂ = 53.94 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(72.11, 126.1, 53.94)/2 = 63.03 MPa

คำตอบ

τ_abs = 63.03 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ₁ = 68.17 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15.92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = 7.958 MPa

R = √(7.958² + 59.68²) = 60.21 MPa

σ₁ = C + R = 68.17 MPa

σ₂ = C − R = −52.25 MPa

คำตอบ

σ₁ = 68.17 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 5.739 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 90·1000/201.1 = 447.6 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 447.6/117000 = 0.003826 = 3826 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.003826·1500 mm = 5.739 mm

คำตอบ

δ = 5.739 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 1017 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 91.51 MPa

σ₂ = 1017 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 1017 MPa

คำตอบ

σ_max = 1017 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 13.88 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·4000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4000² = 13879 N = 13.88 kN

คำตอบ

P_cr = 13.88 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 54.3 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 54.3 mm

คำตอบ

d = 54.3 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 128.9 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.05986

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(50/7.6) = 0.3768

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3768/√(39.48 + 0.142) = 0.05986

คำตอบ

ζ = 0.05986

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 8.717 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 30 + 30 = 60 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(60000/20) = 54.77 rad/s

f_n = 54.77/(2π) = 8.717 Hz

คำตอบ

f_n = 8.717 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design