เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 75 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 2.5 mm และอัตราทดความเร็ว 3 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N1
a = 75 mmm = 2.5 mmi = 3
N1 =
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
มอเตอร์ 4 kW ที่ 960 rpm ขับเฟือง A (18 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (25 ฟัน) เฟือง C (40 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (60 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 98% จงหาแรงบิดขาออก Tout
P = 4 kWnin = 960 rpmA = 18B = 25C = 40D = 60ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.การบิดของเพลาปานกลาง
ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 15 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 30 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 400 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 3.55° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ
T = 30 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3.55°
G = GPa
4.การบิดของเพลายาก
เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดที่ A แรงบิด 100 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1.5 m และแรงบิด 250 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.5 m จงหาขนาดของมุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา
d = 40 mmTB = 100 N·mTC = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = 70 MPaσy = 30 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 40° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = −50 MPaσy = 60 MPaτxy = 60 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 95 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 75 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 2 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 115 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 115 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 8 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 15 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 8 kgk = 15 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 25 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 100 kgk1 = 12 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: N1 = 15
เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: Ft = 2T/d
จำนวนฟันทั้งหมด
N1 + N2 = 2a/m = 2·75/2.5 = 60
แบ่งตามอัตราส่วน
N1 = 60/(1 + 3) = 15
คำตอบ
N1 = 15
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: Tout = 79.61 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
ความเร็วรอบขาออก
nout = 960·(18/25)·(40/60) = 460.8 rpm
ωout = 2π·460.8/60 = 48.25 rad/s
กำลังและแรงบิดขาออก
Pout = 4000·0.98² = 3842 W
Tout = Pout/ωout = 3842/48.25 = 79.61 N·m
คำตอบ
Tout = 79.61 N·m
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: G = 38.97 GPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 3.55·π/180 = 0.06196 rad
มอดูลัสเฉือน
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(4970·0.06196) = 38968 MPa
G = 38.97 GPa
คำตอบ
G = 38.97 GPa
เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: φC = 3.069 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิดภายใน
ให้ทิศของ TC เป็นบวก
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 100 = 150 N·m
มุมบิดของแต่ละท่อน
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 150000·1500/(26000·251327) = 0.03443 rad
φBC = 250000·500/(26000·251327) = 0.01913 rad
มุมบิดของปลาย C
φC = 0.03443 + 0.01913 = 0.05356 rad → |φC| = 3.069°
คำตอบ
φC = 3.069°
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θs = −67.5 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°
cos 2θs = −20/28.28 = −0.7071, sin 2θs = −20/28.28 = −0.7071
2θs = atan2(−20, −20) = −135°
มุมบนชิ้นส่วน
θs = −67.5°
ตรวจสอบ: θs − θp = −67.5 − (−22.5) = −45°
คำตอบ
θs = −67.5°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 54.54 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 5 + −55·0.1736 + 60·0.9848 = 54.54 MPa
คำตอบ
σθ = 54.54 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 16.87 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201.1 = 472.5 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 472.5/70000 = 0.00675 = 6750 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.00675·2500 mm = 16.87 mm
คำตอบ
δ = 16.87 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 238.7 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 106.1 MPa
σ2 = 238.7 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 238.7 MPa
คำตอบ
σmax = 238.7 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 8.721 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
คำตอบ
Pcr = 8.721 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 65.62 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2.5·115000 = 287500 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65.62 mm
คำตอบ
d = 65.62 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 152.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 6.316 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(15000/8) = 43.3 rad/s
fn = 43.3/(2π) = 6.892 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 6.892·√(1 − 0.4²) = 6.316 Hz
คำตอบ
fd = 6.316 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 3.061 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 12 + 25 = 37 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(37000/100) = 19.24 rad/s
fn = 19.24/(2π) = 3.061 Hz
คำตอบ
fn = 3.061 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design