การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.1 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 20 ฟันและโมดูล 2 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 1.1 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 2 mm

F_t = N

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 12 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 900 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 12N_p = 18n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 500 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดที่ A แรงบิด 100 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 3 m และแรงบิด 250 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 3 m จงหาขนาดของมุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 600 mm ความหนาผนัง 12 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 1 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 35° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_n ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม

D = 600 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 110 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 70 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 6.9 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 10 mmx₃ = 6.9 mmn = 3

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริง k₃ = 100 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 12 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 364.7 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 1100/150.8 = 7.295 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 2·20 = 40 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·7.295/0.04 = 364.7 N

คำตอบ

F_t = 364.7 N

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 225 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·12/48 = −225 rpm

|n_r| = 225 rpm

คำตอบ

n_r = 225 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 22.8 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·15708) = 0.3979 rad

φ = 0.3979·180/π = 22.8°

คำตอบ

φ = 22.8°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 7.015 °

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

มุมบิดของแต่ละท่อน

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 150000·3000/(39000·251327) = 0.04591 rad

φ_BC = 250000·3000/(39000·251327) = 0.07652 rad

มุมบิดของปลาย C

φ_C = 0.04591 + 0.07652 = 0.1224 rad → |φ_C| = 7.015°

คำตอบ

φ_C = 7.015°

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = −48.56 °

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·−40, 90 − 100) = −97.13°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = −48.56°

คำตอบ

θ_p = −48.56°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_n = 20.89 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1·300/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12.5 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

σ_n = 12.5·sin²35° + 25·cos²35° = 20.89 MPa

คำตอบ

σ_n = 20.89 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 7.503 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314.2 = 350.1 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350.1/70000 = 0.005002 = 5002 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.005002·1500 mm = 7.503 mm

คำตอบ

δ = 7.503 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 348.2 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 72.76 MPa

σ₂ = 348.2 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 348.2 MPa

คำตอบ

σ_max = 348.2 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 37.85 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

คำตอบ

P_cr = 37.85 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 56.65 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7.5 = 186.7

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa

คำตอบ

σ_cr = 56.65 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.01968

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/3)·ln(10/6.9) = 0.1237

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1237/√(39.48 + 0.0153) = 0.01968

คำตอบ

ζ = 0.01968

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 16.36 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 100 + 12 = 112 kN/m

k_eq = 112·100/(112 + 100) = 52.83 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(52830/5) = 102.8 rad/s

f_n = 102.8/(2π) = 16.36 Hz

คำตอบ

f_n = 16.36 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design