การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 1440 rpm แรงตึงคือ 500 N ที่ด้านตึงและ 100 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 12 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 30 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 900 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 12N_p = 30n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 75 kW ที่ 750 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 1° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 15° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_y′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σ_vM

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 85 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 115 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 2 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 80 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 8 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.3 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 40 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 50 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 3.016 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 7.54 m/s

กำลัง

P = (500 − 100)·7.54 = 3016 W = 3.016 kW

คำตอบ

P = 3.016 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 150 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·30 = 72

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·12/72 = −150 rpm

|n_r| = 150 rpm

คำตอบ

n_r = 150 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.3502 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·613592) = 0.006112 rad

φ = 0.006112·180/π = 0.3502°

คำตอบ

φ = 0.3502°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 51.37 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·60)) = 43.28 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51.37 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(43.28, 51.37) = 51.37 mm

คำตอบ

d = 51.37 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_y′ = 49.64 MPa

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σ_y′ = −10 − (−40)·0.866 − (−50)·0.5 = 49.64 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σ_x′ = −69.64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

คำตอบ

σ_y′ = 49.64 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_vM = 88.88 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 10 MPa, R = 50.99 MPa

σ₁ = 60.99 MPa, σ₂ = −40.99 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(60.99² − 60.99·(−40.99) + (−40.99)²) = 88.88 MPa

คำตอบ

σ_vM = 88.88 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 8.455 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 85·1000/201.1 = 422.8 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 422.8/100000 = 0.004228 = 4228 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.004228·2000 mm = 8.455 mm

คำตอบ

δ = 8.455 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 366.1 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 162.7 MPa

σ₂ = 366.1 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 366.1 MPa

คำตอบ

σ_max = 366.1 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 3.109 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/5000² = 3109 N = 3.109 kN

คำตอบ

P_cr = 3.109 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 3.084 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

คำตอบ

σ_cr = 3.084 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 1.518 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(8000/80) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.3²) = 1.518 Hz

คำตอบ

f_d = 1.518 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 22.22 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/40 + 1/50 → k_eq = 40·50/(40 + 50) = 22.22 kN/m

คำตอบ

k_eq = 22.22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design