การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 5.5 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 12 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 18 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 5.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 97%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 20 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 24 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1800 rpm จงหาความเร็ว n_c ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์

N_s = 20N_p = 24n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 0.8 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm และยาว 0.8 m แรงบิด 400 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0.8 md₂ = 25 mm, L₂ = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 75 kW ที่ 3000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 170 kN ร่วมกับแรงบิด 200 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุด τ_max

d = 25 mmF = −170 kNT = 200 N·m

τ_max = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 300 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 250 kN จงหาระยะหด δ

P = 250 kNแท่ง: Ø30 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 70 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 50 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 50 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 10 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 4 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 200 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 10 kgk = 4 kN/mc = 200 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 10 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 100 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 36.47 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150.8 = 36.47 N·m

คำตอบ

T₁ = 36.47 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_c = 409.1 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·24 = 68

สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน

ตั้ง n_r = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −68/20

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·20/88 = 409.1 rpm

คำตอบ

n_c = 409.1 rpm

โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 14.13 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·800/(39000·251327) = 0.03265 rad

φ_BC = 400000·800/(39000·38350) = 0.214 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.03265 + 0.214 = 0.2466 rad = 14.13°

คำตอบ

φ_C = 14.13°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 27.26 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·60)) = 27.26 mm

คำตอบ

d = 27.26 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 71.62 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 80 MPa, R = √(60² + 20²) = 63.25 MPa

σ₁ = 143.2 MPa, σ₂ = 16.75 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(126.5, 143.2, 16.75)/2 = 71.62 MPa

คำตอบ

τ_abs = 71.62 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 185 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = F/A = −170000/(π·25²/4) = −170000/490.9 = −346.3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = −173.2 MPa

R = √((−173.2)² + 65.19²) = 185 MPa

คำตอบ

τ_max = 185 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.1851 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 250000·300/4.053 × 10⁸ = 0.1851 mm

คำตอบ

δ = 0.1851 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 276.9 kN

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·3063 = 4.351 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.0006364) = 0.0006364 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0006364·4.351 × 10⁸ = 276889 N = 276.9 kN

คำตอบ

P_max = 276.9 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 94.2 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1500 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94.2 kN

คำตอบ

P_cr = 94.2 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 131 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 131 mm

คำตอบ

d = 131 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 305.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.5

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·10) = 400 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 200/400 = 0.5

คำตอบ

ζ = 0.5

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 6.786 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/10 + 1/100 → k_eq = 10·100/(10 + 100) = 9.091 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(9091/5) = 42.64 rad/s

f_n = 42.64/(2π) = 6.786 Hz

คำตอบ

f_n = 6.786 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design