เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 2.2 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 95% หาแรงบิด T1 บนเพลาของมอเตอร์
P = 2.2 kWn1 = 960 rpmN1 = 24N2 = 40η = 95%
T1 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 24 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 20 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 600 rpm จงหาความเร็ว nc ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์
Ns = 24Np = 20ns = 600 rpm
nc = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 200 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 100 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 0.8 m และห่างจาก B 2.5 m จงหามุมหมุน φC ของหน้าตัด C ในหน่วยองศา
d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 0.8 mb = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°
σx = 130 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 150 kN ร่วมกับแรงบิด 100 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ1
d = 25 mmF = −150 kNT = 100 N·m
σ1 = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 200 mm, E = 110 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.4 mm
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 60 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 15 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 15 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 50 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 12 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.5 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 50 kgk = 12 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 20 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 50 kN/m และ k₂ = 15 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz
m = 50 kgk1 = 50 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T1 = 21.88 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/100.5 = 21.88 N·m
คำตอบ
T1 = 21.88 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nc = 163.6 rpm
ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว
จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·20 = 64
สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน
ตั้ง nr = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา
(600 − nc)/(0 − nc) = −64/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 600·24/88 = 163.6 rpm
คำตอบ
nc = 163.6 rpm
โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 0.9006 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(80000·79522) = 0.01572 rad
φ = 0.01572·180/π = 0.9006°
คำตอบ
φ = 0.9006°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: φC = 0.1727 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)
สมดุลและความสอดคล้อง
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2.5/3.3 = 75.76 N·m
TB = 100·0.8/3.3 = 24.24 N·m
การหมุนของ C
ใช้ท่อน AC: ยึดที่ A และรับ TA
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 75758·800/(80000·251327) = 0.003014 rad = 0.1727°
คำตอบ
φC = 0.1727°
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θp = 10.9 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ
2θp = atan2(2·30, 130 − −20) = 21.8°
มุมบนชิ้นส่วน
θp = 10.9°
คำตอบ
θp = 10.9°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σ1 = 3.438 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
ความเค้นที่ผิว
σ = F/A = −150000/(π·25²/4) = −150000/490.9 = −305.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32.59 MPa
วงกลมของมอร์
C = σ/2 = −152.8 MPa
R = √((−152.8)² + 32.59²) = 156.2 MPa
σ1 = C + R = 3.438 MPa
σ2 = C − R = −309 MPa
คำตอบ
σ1 = 3.438 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: P = 77.37 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
ความอ่อนตัว
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9.26 × 10⁻⁷ mm/N
โหลด
P = 0.4/5.17 × 10⁻⁶ = 77368 N = 77.37 kN
คำตอบ
P = 77.37 kN
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 2.721 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 84.88 MPa
σ2 = 191 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 84.88·1500/117000 = 1.088 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 191·1000/117000 = 1.632 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.721 mm
คำตอบ
δ = 2.721 mm
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 313.9 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN
คำตอบ
Pcr = 313.9 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 48.84 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 48.84 mm
คำตอบ
d = 48.84 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 286.7 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 2.135 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(12000/50) = 15.49 rad/s
fn = 15.49/(2π) = 2.466 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.466·√(1 − 0.5²) = 2.135 Hz
คำตอบ
fd = 2.135 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 2.784 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
มีเพียง k1 และ k2 ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k3 จึงรวมแบบส่วนกลับ
k12 = 50 + 15 = 65 kN/m
keq = 65·20/(65 + 20) = 15.29 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(15294/50) = 17.49 rad/s
fn = 17.49/(2π) = 2.784 Hz
คำตอบ
fn = 2.784 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design