การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 4 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 30 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 4 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 60η = 100%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (18 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (24 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (40 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 18B = 24C = 12D = 40

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 50 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 400 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 2.81° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ

T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 2.81°

G = GPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 50 kW ที่ 3000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 25° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_y′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm รับ แรงอัดตามแนวแกน 130 kN ร่วมกับแรงบิด 250 N·m ที่ผิวของเพลา จงหาความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุด σ₁

d = 30 mmF = −130 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm, ยาว 500 mm, E = 70 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.3 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 120 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 70 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaท่อ: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 130 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 130 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 5 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 8 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.4 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 5 kgk = 8 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 50 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 5 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 13.17 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/303.7 = 13.17 N·m

คำตอบ

T₁ = 13.17 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 326.3 rpm

ขั้นแรก

n_B = 1450·18/24 = 1088 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1088·12/40 = 326.3 rpm

คำตอบ

n_out = 326.3 rpm

อัตราทดรวม = 4.444 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: G = 25.96 GPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2.81·π/180 = 0.04904 rad

มอดูลัสเฉือน

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0.04904) = 25961 MPa

G = 25.96 GPa

คำตอบ

G = 25.96 GPa

เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 21.64 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21.64 mm

คำตอบ

d = 21.64 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_y′ = 42.97 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σ_y′ = 105 − 25·0.6428 − 60·0.766 = 42.97 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σ_x′ = 167 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

คำตอบ

σ_y′ = 42.97 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ₁ = 11.39 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = F/A = −130000/(π·30²/4) = −130000/706.9 = −183.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = −91.96 MPa

R = √((−91.96)² + 47.16²) = 103.3 MPa

σ₁ = C + R = 11.39 MPa

σ₂ = C − R = −195.3 MPa

คำตอบ

σ₁ = 11.39 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 49.48 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.3/6.063 × 10⁻⁶ = 49480 N = 49.48 kN

คำตอบ

P = 49.48 kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 619.7 kN

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0006, 0.0007) = 0.0006 (เหล็กกล้า)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0006·1.033 × 10⁹ = 619679 N = 619.7 kN

คำตอบ

P_max = 619.7 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 17.77 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·2500 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/5000² = 17765 N = 17.77 kN

คำตอบ

P_cr = 17.77 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 45.25 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 45.25 mm

คำตอบ

d = 45.25 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 110.5 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 5.835 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(8000/5) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.366·√(1 − 0.4²) = 5.835 Hz

คำตอบ

f_d = 5.835 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 4.545 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/50 + 1/5 → k_eq = 50·5/(50 + 5) = 4.545 kN/m

คำตอบ

k_eq = 4.545 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design