การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.1 kW ที่ 1450 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 2 เกลียว เฟืองหนอนมี 40 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 80% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 2N_w = 40n = 1450 rpmP = 1.1 kWη = 80%

T_w = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (12 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 960 rpm และขับเฟือง B (50 ฟัน) เฟือง C (30 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 216 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 960 rpmA = 12B = 50C = 30n_out = 216 rpm

N_D =

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 400 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 15 kW ที่ 750 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 1° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = −40 MPa, σᵧ = 80 MPa และ τₓᵧ = 50 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θ_s ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −40 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 40° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 20 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 30 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 15 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 15 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 12 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 4 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.7 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 12 kgk = 4 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริง k₃ = 15 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 40 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 115.9 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 1450·2/40 = 72.5 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·72.5/60 = 7.592 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.8·1100/7.592 = 115.9 N·m

คำตอบ

T_w = 115.9 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 32

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 960·12/50 = 230.4 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 30·230.4/216 = 32

คำตอบ

N_D = 32

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 18.47 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·79522) = 0.3224 rad

φ = 0.3224·180/π = 18.47°

คำตอบ

φ = 18.47°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 34.36 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 15000/78.54 = 191 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28.97 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34.36 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(28.97, 34.36) = 34.36 mm

คำตอบ

d = 34.36 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_s = 25.1 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°

cos 2θ_s = 50/78.1 = 0.6402, sin 2θ_s = −(−60)/78.1 = 0.7682

2θ_s = atan2(60, 50) = 50.19°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_s = 25.1°

ตรวจสอบ: θ_s − θ_p = 25.1 − 70.1 = −45°

คำตอบ

θ_s = 25.1°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = 4.353 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −−15·0.9848 + −60·0.1736 = 4.353 MPa

คำตอบ

τ_θ = 4.353 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 203.7 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/200000 = 0.0002037 = 203.7 µε

คำตอบ

ε = 203.7 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 3.289 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 42.44 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42.44·1500/100000 = 0.6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·2000/200000 = 2.653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3.289 mm

คำตอบ

δ = 3.289 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 191.9 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1500 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1500² = 191909 N = 191.9 kN

คำตอบ

P_cr = 191.9 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 45.22 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 45.22 mm

คำตอบ

d = 45.22 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 265.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 2.075 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(4000/12) = 18.26 rad/s

f_n = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.906·√(1 − 0.7²) = 2.075 Hz

คำตอบ

f_d = 2.075 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.109 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 80 + 40 = 120 kN/m

k_eq = 120·15/(120 + 15) = 13.33 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(13333/20) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

คำตอบ

f_n = 4.109 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design