การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน
n1·N1 = n2·N2
แรงบิด
T2 = T1·(N2/N1)·η
กำลัง
P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ
อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
N1​ = 25N2​ = 45

มอเตอร์ 5.5 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 45 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิดขาออก T2 บนเพลาของเฟือง

P = 5.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 25N2 = 45η = 100%
T2 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
A = 16B = 30C = 48D = 80

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (16 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2900 rpm ขับเฟือง B (30 ฟัน) เฟือง C (48 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout

nin = 2900 rpmA = 16B = 30C = 48D = 80
nout = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
do​ = ?T = 500 N·m

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 500 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.5 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do

T = 500 N·mdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
d = ?20 kW, 500 rpm

เพลา อะลูมิเนียม ตันส่งกำลัง 20 kW ที่ 500 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.25° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = −20σy​ = −20τxy​ = 20MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σx = −20 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 30σy​ = 40τxy​ = 60MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x

σx = 30 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
200 kNØ25100 GPaØ80/50600 mmδ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 200 kN จงหาระยะหด δ

P = 200 kNแท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 30 mmอะลูมิเนียม0.5 mØ 16 mmทองเหลือง2 mP = 60 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง

P = 60 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 2 m25 × 50 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 75 kNL = 2.5 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 75 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 75 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
k = 10 kN/mζ = 0.7m = 15 kg

มวล 15 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 10 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.7 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 15 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
k1​ = 80k2​ = 25m = 10 kg

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 80 kN/m และ k₂ = 25 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T2 = 63.03 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m

แรงบิดขาออก

T2 = 35.01·45/25·1 = 63.03 N·m

คำตอบ

T2 = 63.03 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: nout = 928 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

nB = 2900·16/30 = 1547 rpm = nC

ขั้นที่สอง

nout = 1547·48/80 = 928 rpm

คำตอบ

nout = 928 rpm

อัตราทดรวม = 3.125 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: do = 40.8 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·40·0.9375)) = 40.8 mm
di = 0.5·40.8 = 20.4 mm

คำตอบ

do = 40.8 mm

เพลาตันต้องมี d = 39.93 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 76.53 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·40)) = 36.5 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·381972/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 76.53 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(36.5, 76.53) = 76.53 mm

คำตอบ

d = 76.53 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θp = 45 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCσ1​σ2​

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θp = atan2(2·20, −20 − −20) = 90°

มุมบนชิ้นส่วน

θp = 45°

คำตอบ

θp = 45°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σθ = −7.397 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

σθ = 35 + −5·0.766 + 60·−0.6428 = −7.397 MPa

คำตอบ

σθ = −7.397 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.2967 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·3063 = 4.045 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 200000·600/4.045 × 10⁸ = 0.2967 mm

คำตอบ

δ = 0.2967 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σmax = 298.4 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 84.88 MPa
σ2 = 298.4 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σmax = 298.4 MPa

คำตอบ

σmax = 298.4 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 11.24 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·2000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2000² = 11245 N = 11.24 kN

คำตอบ

Pcr = 11.24 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 78.87 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 78.87 mm

คำตอบ

d = 78.87 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 253.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fd = 2.935 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ωn = √(10000/15) = 25.82 rad/s
fn = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.109·√(1 − 0.7²) = 2.935 Hz

คำตอบ

fd = 2.935 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fn = 16.31 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2

keq = 80 + 25 = 105 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ωn = √(105000/10) = 102.5 rad/s
fn = 102.5/(2π) = 16.31 Hz

คำตอบ

fn = 16.31 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design