เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 80 mm ที่ 1450 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 100 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW
d1 = 80 mmn1 = 1450 rpmT1 = 400 NT2 = 100 N
P = kW
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 80 mm กับพูลเลย์ 200 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1000 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา
d1 = 80 mmd2 = 200 mmC = 1000 mm
θ = °
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลา อะลูมิเนียม ตัน ยาว 3 m รับแรงบิด 250 N·m มุมบิดระหว่างปลายทั้งสองต้องไม่เกิน 3° จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามขีดจำกัดนี้
T = 250 N·mL = 3 mG = 26 GPaφallow = 3°
d = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 2000 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 0.8 m และห่างจาก B 1 m จงหามุมหมุน φC ของหน้าตัด C ในหน่วยองศา
d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 0.8 mb = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −70 MPa, σᵧ = 20 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°
σx = −70 MPaσy = 20 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 20° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = −10 MPaσy = 10 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองแดง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)
P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 80 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 50 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 150 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 3290 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
m = 50 kgk = 150 kN/mc = 3290 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 80 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 20 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: P = 1.822 kW
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
ความเร็วสายพาน
v = 6.074 m/s
กำลัง
P = (400 − 100)·6.074 = 1822 W = 1.822 kW
คำตอบ
P = 1.822 kW
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: θ = 173.1 °
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
มุมของสายพาน
asin(0.06) = 3.44°
มุมโอบ
θ = 180 − 2·3.44 = 173.1°
คำตอบ
θ = 173.1°
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 48.67 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วที่ต้องการ
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·3000/(26000·0.05236) = 550921 mm⁴
เส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (32J/π)1/4 = 48.67 mm
คำตอบ
d = 48.67 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: φC = 16.42 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)
สมดุลและความสอดคล้อง
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1/1.8 = 1111 N·m
TB = 2000·0.8/1.8 = 888.9 N·m
การหมุนของ C
ใช้ท่อน AC: ยึดที่ A และรับ TA
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 1.111 × 10⁶·800/(39000·79522) = 0.2866 rad = 16.42°
คำตอบ
φC = 16.42°
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θp = −63.43 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ
2θp = atan2(2·−60, −70 − 20) = −126.9°
มุมบนชิ้นส่วน
θp = −63.43°
คำตอบ
θp = −63.43°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = −33.37 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 0 + −10·0.766 + −40·0.6428 = −33.37 MPa
คำตอบ
σθ = −33.37 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: ε = 11971 µε
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 110·1000/78.54 = 1401 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 1401/117000 = 0.01197 = 11971 µε
คำตอบ
ε = 11971 µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 29.06 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 80000·175929/385369 = 36522 N
ความเค้น
σ2 = 36522/1257 = 29.06 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 29.06 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 2.665 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 2·5000 = 10000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/10000² = 2665 N = 2.665 kN
คำตอบ
Pcr = 2.665 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 17.27 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
คำตอบ
σcr = 17.27 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.6007
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
การหน่วงวิกฤต
cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc = 3290/5477 = 0.6007
คำตอบ
ζ = 0.6007
ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 9.003 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
1/keq = 1/80 + 1/20 → keq = 80·20/(80 + 20) = 16 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(16000/5) = 56.57 rad/s
fn = 56.57/(2π) = 9.003 Hz
คำตอบ
fn = 9.003 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design