เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 24 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 95% หาแรงบิด T1 บนเพลาของมอเตอร์
P = 1.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 24N2 = 60η = 95%
T1 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 80 mm ที่ 1440 rpm กับพูลเลย์ 500 mm ศูนย์กลางห่างกัน 800 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.25 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 2000 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)
d1 = 80 mmn1 = 1440 rpmd2 = 500 mmC = 800 mmμ = 0.25T1 = 2000 N
P = kW
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวงต้องรับแรงบิด 1500 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.8 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
T = 1500 N·mdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลาตันต้องส่งกำลัง 100 kW ที่ 1500 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้
P = 100 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°
σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 50° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 120 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 70 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 300 kN จงหาระยะหด δ
P = 300 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 500 mm, E = 120 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 20 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 20 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 100 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 850 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
m = 20 kgk = 100 kN/mc = 850 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 40 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 50 kgk1 = 12 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T1 = 14.92 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/100.5 = 14.92 N·m
คำตอบ
T1 = 14.92 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: P = 5.782 kW
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
มุมโอบ
θ = 2.61 rad
แรงตึงด้านหย่อน
eμθ = e0.6526 = 1.921, T₂ = 2000/1.921 = 1041 N
กำลัง
P = (2000 − 1041)·6.032 = 5.782 kW
คำตอบ
P = 5.782 kW
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 54.48 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·80·0.5904)) = 54.48 mm
di = 0.8·54.48 = 43.59 mm
คำตอบ
do = 54.48 mm
เพลาตันต้องมี d = 45.71 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 40.18 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·50)) = 40.18 mm
คำตอบ
d = 40.18 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θp = 10.9 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ
2θp = atan2(2·20, 40 − −60) = 21.8°
มุมบนชิ้นส่วน
θp = 10.9°
คำตอบ
θp = 10.9°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 67.59 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 25 + 95·−0.1736 + 60·0.9848 = 67.59 MPa
คำตอบ
σθ = 67.59 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.4514 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 300000·800/5.317 × 10⁸ = 0.4514 mm
คำตอบ
δ = 0.4514 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 11.81 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 20000·301593/406313 = 14845 N
ความเค้น
σ2 = 14845/1257 = 11.81 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 11.81 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 14.92 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 1·2500 = 2500 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2500² = 14923 N = 14.92 kN
คำตอบ
Pcr = 14.92 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 38.86 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa
คำตอบ
σcr = 38.86 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.3005
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
การหน่วงวิกฤต
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc = 850/2828 = 0.3005
คำตอบ
ζ = 0.3005
ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 5.133 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 12 + 40 = 52 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(52000/50) = 32.25 rad/s
fn = 32.25/(2π) = 5.133 Hz
คำตอบ
fn = 5.133 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design