การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 75 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 3 mm และอัตราทดความเร็ว 1.5 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 75 mmm = 3 mmi = 1.5

N₂ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 80 mm ที่ 960 rpm กับพูลเลย์ 200 mm ศูนย์กลางห่างกัน 600 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.35 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 2000 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 2000 N

P = kW

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดที่ A แรงบิด 100 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.5 m และแรงบิด 200 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 1.2 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 0.5 mBC = 1.2 m

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 300 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 45 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 10 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ต้องรับ 55 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 55 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 2.3 mm หลังจากนั้น 5 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₅ = 2.3 mmn = 5

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 10 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 30

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·75/3 = 50

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 50/(1 + 1.5) = 20

N₂ = 1.5·20 = 30

คำตอบ

N₂ = 30

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 5.17 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.941 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^1.029 = 2.799, T₂ = 2000/2.799 = 714.4 N

กำลัง

P = (2000 − 714.4)·4.021 = 5.17 kW

คำตอบ

P = 5.17 kW

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 8.768 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(39000·251327) = 0.153 rad

φ = 0.153·180/π = 8.768°

คำตอบ

φ = 8.768°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 37.73 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·30³) = 37.73 MPa

คำตอบ

τ_max = 37.73 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 31.62 MPa

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((30 − 90)/2)² + −10²) = 31.62 MPa

คำตอบ

τ_max = 31.62 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 4.16

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −50 MPa, R = 30 MPa

σ₁ = −20 MPa, σ₂ = −80 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √((−20)² − (−20)·(−80) + (−80)²) = 72.11 MPa

n = 300/72.11 = 4.16

คำตอบ

n = 4.16

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 4.476 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 223.8/100000 = 0.002238 = 2238 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.002238·2000 mm = 4.476 mm

คำตอบ

δ = 4.476 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.4761 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 7.958 MPa

σ₂ = 31.83 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7.958·1000/117000 = 0.06801 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31.83·1500/117000 = 0.4081 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.4761 mm

คำตอบ

δ = 0.4761 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 35.25 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3500² = 35249 N = 35.25 kN

คำตอบ

P_cr = 35.25 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 68.06 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 68.06 mm

คำตอบ

d = 68.06 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 123.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.05958

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/5)·ln(15/2.3) = 0.375

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.375/√(39.48 + 0.1406) = 0.05958

คำตอบ

ζ = 0.05958

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 7.143 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/10 + 1/25 → k_eq = 10·25/(10 + 25) = 7.143 kN/m

คำตอบ

k_eq = 7.143 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design