เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 11 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 25 ฟันและโมดูล 2 mm จงหาแรงสัมผัส Ft ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก
P = 11 kWn = 960 rpmN1 = 25m = 2 mm
Ft = N
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (25 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 3000 rpm ขับเฟือง B (36 ฟัน) เฟือง C (16 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout
nin = 3000 rpmA = 25B = 36C = 16D = 80
nout = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลากลวงส่งกำลัง 100 kW ที่ 1500 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θp จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°
σx = 140 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 355 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)
σx = 40 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaσY = 355 MPa
n =
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 90 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 25 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 0.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 0.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 2.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 7.1 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
x0 = 15 mmx3 = 7.1 mmn = 3
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 80 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m
m = 20 kgk1 = 30 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: Ft = 4377 N
เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: Ft = 2T/d
แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 11000/100.5 = 109.4 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์
d = m·N = 2·25 = 50 mm
แรงสัมผัส
Ft = 2T/d = 2·109.4/0.05 = 4377 N
คำตอบ
Ft = 4377 N
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nout = 416.7 rpm
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
ขั้นแรก
nB = 3000·25/36 = 2083 rpm = nC
ขั้นที่สอง
nout = 2083·16/80 = 416.7 rpm
คำตอบ
nout = 416.7 rpm
อัตราทดรวม = 7.2 : 1
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 0.5986 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·613592) = 0.01045 rad
φ = 0.01045·180/π = 0.5986°
คำตอบ
φ = 0.5986°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 10.73 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴
ความเค้นเฉือนสูงสุด
τmax = T·(do/2)/J = 636620·40/2.374 × 10⁶ = 10.73 MPa
คำตอบ
τmax = 10.73 MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θp = 9.72 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ
2θp = atan2(2·30, 140 − −30) = 19.44°
มุมบนชิ้นส่วน
θp = 9.72°
คำตอบ
θp = 9.72°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: n = 3.623
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 15 MPa, R = 55.9 MPa
σ1 = 70.9 MPa, σ2 = −40.9 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(70.9² − 70.9·(−40.9) + (−40.9)²) = 97.98 MPa
n = 355/97.98 = 3.623
คำตอบ
n = 3.623
n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 17.19 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 90·1000/78.54 = 1146 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1146/200000 = 0.00573 = 5730 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.00573·3000 mm = 17.19 mm
คำตอบ
δ = 17.19 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 221 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 221 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 221 MPa
คำตอบ
σmax = 221 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 94 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·1000 = 700 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/700² = 93996 N = 94 kN
คำตอบ
Pcr = 94 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 2.763 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa
คำตอบ
σcr = 2.763 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.03965
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/3)·ln(15/7.1) = 0.2493
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2493/√(39.48 + 0.06216) = 0.03965
คำตอบ
ζ = 0.03965
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: keq = 110 kN/m
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 30 + 80 = 110 kN/m
คำตอบ
keq = 110 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design