การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 160 mm ที่ 1440 rpm แรงตึงคือ 1200 N ที่ด้านตึงและ 300 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 5.5 kW ที่ 2900 rpm ขับเฟือง A (12 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (20 ฟัน) เฟือง C (40 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (50 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 5.5 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 20C = 40D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันส่งกำลัง 50 kW ที่ 750 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.25° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 275 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 40 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 10 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 0.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 15 mm ตามด้วยยอด 9.1 mm หลังจากนั้น 2 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 15 mmx₂ = 9.1 mmn = 2

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 12 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 80 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 10.86 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 12.06 m/s

กำลัง

P = (1200 − 300)·12.06 = 10857 W = 10.86 kW

คำตอบ

P = 10.86 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 34.77 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 2900·(12/20)·(40/50) = 1392 rpm

ω_out = 2π·1392/60 = 145.8 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 5500·0.96² = 5069 W

T_out = P_out/ω_out = 5069/145.8 = 34.77 N·m

คำตอบ

T_out = 34.77 N·m

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 6.576 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·251327) = 0.1148 rad

φ = 0.1148·180/π = 6.576°

คำตอบ

φ = 6.576°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 78.57 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40.18 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 78.57 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(40.18, 78.57) = 78.57 mm

คำตอบ

d = 78.57 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 72.11 MPa

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((30 − −50)/2)² + 60²) = 72.11 MPa

คำตอบ

τ_max = 72.11 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 1.432

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 35 MPa, R = 96.05 MPa

σ₁ = 131 MPa, σ₂ = −61.05 MPa, σ₃ = 0

เทรสกา

σ_max − σ_min = 192.1 MPa

n = 275/192.1 = 1.432

คำตอบ

n = 1.432

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 1164 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/70000 = 0.001164 = 1164 µε

คำตอบ

ε = 1164 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.5193 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 14.15 MPa

σ₂ = 88.42 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 14.15·1000/100000 = 0.1415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88.42·500/117000 = 0.3779 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.5193 mm

คำตอบ

δ = 0.5193 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 38.55 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·2000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2000² = 38553 N = 38.55 kN

คำตอบ

P_cr = 38.55 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 5.483 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa

คำตอบ

σ_cr = 5.483 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.03974

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/2)·ln(15/9.1) = 0.2499

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2499/√(39.48 + 0.06244) = 0.03974

คำตอบ

ζ = 0.03974

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 5.141 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(10435/10) = 32.3 rad/s

f_n = 32.3/(2π) = 5.141 Hz

คำตอบ

f_n = 5.141 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design