เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 15 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 30 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 32 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิดขาออก T2 บนเพลาของเฟือง
P = 15 kWn1 = 1440 rpmN1 = 30N2 = 32η = 97%
T2 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 30 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 24 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 3000 rpm จงหาความเร็ว nc ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์
Ns = 30Np = 24ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวงต้องรับแรงบิด 200 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.75 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
T = 200 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ยึดที่ A แรงบิด 400 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.8 m และแรงบิด 250 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 1.2 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา
d = 25 mmTB = 400 N·mTC = 250 N·mAB = 0.8 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = 50 MPa โดย σz = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τabs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)
σx = −80 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 150 MPa, σᵧ = −40 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 45° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 45 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 20 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 0.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 40 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 40 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 10 mm ตามด้วยยอด 6.9 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
x0 = 10 mmx3 = 6.9 mmn = 3
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 12 kN/m และ k₂ = 20 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T2 = 102.9 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m
แรงบิดขาออก
T2 = 99.47·32/30·0.97 = 102.9 N·m
คำตอบ
T2 = 102.9 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nc = 833.3 rpm
ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว
จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน
Nr = Ns + 2·Np = 30 + 2·24 = 78
สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน
ตั้ง nr = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา
(3000 − nc)/(0 − nc) = −78/30
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·30/108 = 833.3 rpm
คำตอบ
nc = 833.3 rpm
โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 26.51 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·80·0.6836)) = 26.51 mm
di = 0.75·26.51 = 19.88 mm
คำตอบ
do = 26.51 mm
เพลาตันต้องมี d = 23.35 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: τmax = 81.49 MPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิดภายใน
ให้ทิศของ TC เป็นบวก
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 400 = −150 N·m
ความเค้นเฉือนสูงสุด
ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)
|T|max = 250 N·m
τmax = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
คำตอบ
τmax = 81.49 MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τabs = 82.01 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σmax − σmin)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์
ความเค้นหลักในระนาบ
C = −15 MPa, R = √((−65)² + 50²) = 82.01 MPa
σ1 = 67.01 MPa, σ2 = −97.01 MPa, σz = 0
วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(164, 67.01, 97.01)/2 = 82.01 MPa
คำตอบ
τabs = 82.01 MPa
ในที่นี้ σ₁ และ σ₂ มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้นค่าสูงสุดในระนาบ R ก็เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ด้วย
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 95 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 55 + 95·0 + 40·1 = 95 MPa
คำตอบ
σθ = 95 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 6.714 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 223.8/100000 = 0.002238 = 2238 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.002238·3000 mm = 6.714 mm
คำตอบ
δ = 6.714 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 1.428 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 176.8 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·500/200000 = 0.1019 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·1500/200000 = 1.326 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.428 mm
คำตอบ
δ = 1.428 mm
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 7.996 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7.996 kN
คำตอบ
Pcr = 7.996 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 48 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 48 mm
คำตอบ
d = 48 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 125 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.01968
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/3)·ln(10/6.9) = 0.1237
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1237/√(39.48 + 0.0153) = 0.01968
คำตอบ
ζ = 0.01968
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 9.003 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 12 + 20 = 32 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(32000/10) = 56.57 rad/s
fn = 56.57/(2π) = 9.003 Hz
คำตอบ
fn = 9.003 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design