การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 45 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 1.5 mm และอัตราทดความเร็ว 3 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N₁

a = 45 mmm = 1.5 mmi = 3

N₁ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

มอเตอร์ 2.2 kW ที่ 1440 rpm ขับเฟือง A (20 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (30 ฟัน) เฟือง C (18 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (30 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 97% จงหาแรงบิดขาออก T_out

P = 2.2 kWn_in = 1440 rpmA = 20B = 30C = 18D = 30η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง ทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 75 mm ภายใน 45 mm ยาว 0.5 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 2000 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 500 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 3 m และห่างจาก B 0.5 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา T_A ที่ผนัง A

d = 25 mmT₀ = 500 N·ma = 3 mb = 0.5 m

T_A = N·m

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 420 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 30 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 10 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 1 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 12 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 40 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.5 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 12 kgk = 40 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 30 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 12 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₁ = 15

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·45/1.5 = 60

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 60/(1 + 3) = 15

คำตอบ

N₁ = 15

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_out = 34.32 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วรอบขาออก

n_out = 1440·(20/30)·(18/30) = 576 rpm

ω_out = 2π·576/60 = 60.32 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

P_out = 2200·0.97² = 2070 W

T_out = P_out/ω_out = 2070/60.32 = 34.32 N·m

คำตอบ

T_out = 34.32 N·m

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.5434 °

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴

มุมบิด

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·500/(39000·2.704 × 10⁶) = 0.009484 rad

φ = 0.009484·180/π = 0.5434°

คำตอบ

φ = 0.5434°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: T_A = 71.43 N·m

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง T_A + T_B = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·0.5/3.5 = 71.43 N·m

T_B = 500·3/3.5 = 428.6 N·m

คำตอบ

T_A = 71.43 N·m

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 62.62 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = −75 MPa, R = √(5² + (−50)²) = 50.25 MPa

σ₁ = −24.75 MPa, σ₂ = −125.2 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100.5, 24.75, 125.2)/2 = 62.62 MPa

คำตอบ

τ_abs = 62.62 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 8.4

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 40 MPa, R = 10 MPa

σ₁ = 50 MPa, σ₂ = 30 MPa, σ₃ = 0

เทรสกา

σ_max − σ_min = 50 MPa

n = 420/50 = 8.4

คำตอบ

n = 8.4

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.3056 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61.12/200000 = 0.0003056 = 305.6 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0003056·1000 mm = 0.3056 mm

คำตอบ

δ = 0.3056 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.5767 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 20.37 MPa

σ₂ = 49.74 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20.37·1000/100000 = 0.2037 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49.74·1500/200000 = 0.373 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.5767 mm

คำตอบ

δ = 0.5767 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 13.16 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·4000 = 8000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/8000² = 13159 N = 13.16 kN

คำตอบ

P_cr = 13.16 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 56.65 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7.5 = 186.7

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa

คำตอบ

σ_cr = 56.65 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 7.958 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(40000/12) = 57.74 rad/s

f_n = 57.74/(2π) = 9.189 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9.189·√(1 − 0.5²) = 7.958 Hz

คำตอบ

f_d = 7.958 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 8.571 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/30 + 1/12 → k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8.571 kN/m

คำตอบ

k_eq = 8.571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design