การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน
n1·N1 = n2·N2
แรงบิด
T2 = T1·(N2/N1)·η
กำลัง
P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ
อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
d1​ = 100 mmd2​ = 400 mm1450 rpmT1​ = 400 NT2​ = 80 NP = ?

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 1450 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 80 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmT1 = 400 NT2 = 80 N
P = kW
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
A = 20B = 45C = 12D = 18

มอเตอร์ 2.2 kW ที่ 960 rpm ขับเฟือง A (20 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (45 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (18 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 97% จงหาแรงบิดขาออก Tout

P = 2.2 kWnin = 960 rpmA = 20B = 45C = 12D = 18ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
Tdo​ = 50 mm, di​ = 30 mm

เพลากลวงส่งกำลัง 50 kW ที่ 300 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τmax ในเพลา

P = 50 kWN = 300 rpmdo = 50 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 60σy​ = 90τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax

σx = 60 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 60σy​ = −20τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 30° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
τθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 20 mmทองแดง0.5 mP = 35 kN

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองแดง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 35 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
P = ?Ø40110 GPaØ120/60500 mm

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด Pmax

แท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaท่อ: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 1.5 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
P = 100 kNL = 5 md = ?หน้าตัด

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 100 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 100 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
k = 20 kN/mc = 130 N·s/mm = 10 kg

มวล 10 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 20 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 130 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 10 kgk = 20 kN/mc = 130 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
k1​ = 10k2​ = 80m = 20 kg

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 80 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 2.429 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 7.592 m/s

กำลัง

P = (400 − 80)·7.592 = 2429 W = 2.429 kW

คำตอบ

P = 2.429 kW
2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: Tout = 69.49 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วรอบขาออก

nout = 960·(20/45)·(12/18) = 284.4 rpm
ωout = 2π·284.4/60 = 29.79 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

Pout = 2200·0.97² = 2070 W
Tout = Pout/ωout = 2070/29.79 = 69.49 N·m

คำตอบ

Tout = 69.49 N·m
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 1.077 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·613592) = 0.0188 rad
φ = 0.0188·180/π = 1.077°

คำตอบ

φ = 1.077°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τmax = 74.5 MPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τmax = T·(do/2)/J = 1.592 × 10⁶·25/534071 = 74.5 MPa

คำตอบ

τmax = 74.5 MPa
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τmax = 33.54 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

στxyCτmax​

รัศมีของวงกลมมอร์

τmax = R = √(((60 − 90)/2)² + 30²) = 33.54 MPa

คำตอบ

τmax = 33.54 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τθ = 49.64 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

τθ = −40·−0.866 + 30·0.5 = 49.64 MPa

คำตอบ

τθ = 49.64 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 952.2 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314.2 = 111.4 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 111.4/117000 = 0.0009522 = 952.2 µε

คำตอบ

ε = 952.2 µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: Pmax = 861.4 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1.184 × 10⁹ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

Pmax = 0.0007273·1.184 × 10⁹ = 861368 N = 861.4 kN

คำตอบ

Pmax = 861.4 kN
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 48.83 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1500 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48.83 kN

คำตอบ

Pcr = 48.83 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 93.8 mm

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 93.8 mm

คำตอบ

d = 93.8 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 213.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.1453

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·10) = 894.4 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/cc = 130/894.4 = 0.1453

คำตอบ

ζ = 0.1453

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: keq = 90 kN/m

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2

keq = 10 + 80 = 90 kN/m

คำตอบ

keq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design