เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 4 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 36 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 80 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 98% หาแรงบิด T1 บนเพลาของมอเตอร์
P = 4 kWn1 = 960 rpmN1 = 36N2 = 80η = 98%
T1 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 200 mm กับพูลเลย์ 300 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 500 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา
d1 = 200 mmd2 = 300 mmC = 500 mm
θ = °
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm และยาว 0.5 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm และยาว 2 m แรงบิด 200 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา
T = 200 N·md1 = 30 mm, L1 = 0.5 md2 = 20 mm, L2 = 2 mG = 80 GPa
φC = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลาตันต้องส่งกำลัง 75 kW ที่ 1800 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้
P = 75 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 70 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = 70 MPaσy = −70 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 25° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 100 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)
P = 75 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 95 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 100 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 100 kNn = 2.5L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 40 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 80 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 40 kgk = 80 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 40 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 15 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 100 kgk1 = 40 kN/mk2 = 15 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T1 = 39.79 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/100.5 = 39.79 N·m
คำตอบ
T1 = 39.79 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: θ = 168.5 °
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
มุมของสายพาน
asin(0.1) = 5.739°
มุมโอบ
θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°
คำตอบ
θ = 168.5°
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φC = 19.14 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว
J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
มุมบิดของแต่ละท่อน
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 200000·500/(80000·79522) = 0.01572 rad
φBC = 200000·2000/(80000·15708) = 0.3183 rad
มุมบิดรวม
φC = 0.01572 + 0.3183 = 0.334 rad = 19.14°
คำตอบ
φC = 19.14°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 30.01 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 75000/188.5 = 397.9 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·397887/(π·75)) = 30.01 mm
คำตอบ
d = 30.01 mm
ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 80.62 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((70 − −70)/2)² + 40²) = 80.62 MPa
คำตอบ
τmax = 80.62 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 79.08 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 20 + 80·0.6428 + 10·0.766 = 79.08 MPa
คำตอบ
σθ = 79.08 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: ε = 1865 µε
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 373/200000 = 0.001865 = 1865 µε
คำตอบ
ε = 1865 µε
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 5.55 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 75.6 MPa
σ2 = 472.5 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 75.6·2000/100000 = 1.512 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 472.5·1000/117000 = 4.038 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.55 mm
คำตอบ
δ = 5.55 mm
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 88.83 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88.83 kN
คำตอบ
Pcr = 88.83 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 73.69 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 73.69 mm
คำตอบ
d = 73.69 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 108.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 5.694 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(80000/40) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 7.118·√(1 − 0.6²) = 5.694 Hz
คำตอบ
fd = 5.694 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 1.662 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
1/keq = 1/40 + 1/15 → keq = 40·15/(40 + 15) = 10.91 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(10909/100) = 10.44 rad/s
fn = 10.44/(2π) = 1.662 Hz
คำตอบ
fn = 1.662 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design