เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 15 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 96% หาแรงบิด T1 บนเพลาของมอเตอร์
P = 15 kWn1 = 1440 rpmN1 = 25N2 = 60η = 96%
T1 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (12 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 3000 rpm ขับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (18 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (20 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout
nin = 3000 rpmA = 12B = 72C = 18D = 20
nout = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 20 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 300 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 4.33° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ
T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 4.33°
G = GPa
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 400 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 1.5 m และห่างจาก B 0.8 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา TA ที่ผนัง A
d = 60 mmT0 = 400 N·ma = 1.5 mb = 0.8 m
TA = N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 30 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 25° ทวนเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว
σx = 30 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1500 mm ความหนาผนัง 6 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 2 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 55° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σn ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม
D = 1500 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 55°
σn = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งทองแดงภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 55 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm, ยาว 400 mm, E = 110 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 20 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ2 ในท่อนที่ 2
ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 40 mm ตามด้วยยอด 15.6 mm หลังจากนั้น 3 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
x0 = 40 mmx3 = 15.6 mmn = 3
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 100 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 10 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T1 = 99.47 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m
คำตอบ
T1 = 99.47 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nout = 450 rpm
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
ขั้นแรก
nB = 3000·12/72 = 500 rpm = nC
ขั้นที่สอง
nout = 500·18/20 = 450 rpm
คำตอบ
nout = 450 rpm
อัตราทดรวม = 6.667 : 1
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: G = 39 GPa
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 4.33·π/180 = 0.07557 rad
มอดูลัสเฉือน
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0.07557) = 39000 MPa
G = 39 GPa
คำตอบ
G = 39 GPa
เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: TA = 139.1 N·m
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)
สมดุลและความสอดคล้อง
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·0.8/2.3 = 139.1 N·m
TB = 400·1.5/2.3 = 260.9 N·m
คำตอบ
TA = 139.1 N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σy′ = 69.96 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลงสำหรับหน้า y′
σy′ = 45 − (−15)·0.6428 − (−20)·0.766 = 69.96 MPa
ตรวจสอบ
ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน
σx′ = 20.04 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
คำตอบ
σy′ = 69.96 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σn = 166.1 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σh = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σa = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง
ความเค้นในผนัง
r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2·750/6 = 250 MPa
σa = pr/(2t) = 125 MPa
แปลงไปยังรอยเชื่อม
ให้ x ตามแนวแกน (σa) และ y รอบเส้นรอบวง (σh) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน
σn = 125·sin²55° + 250·cos²55° = 166.1 MPa
คำตอบ
σn = 166.1 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 2.993 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 55·1000/314.2 = 175.1 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 175.1/117000 = 0.001496 = 1496 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.001496·2000 mm = 2.993 mm
คำตอบ
δ = 2.993 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σ2 = 4.404 MPa
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
ความแข็ง
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm
ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2
F2 = 20000·777544/1.249 × 10⁶ = 12453 N
ความเค้น
σ2 = 12453/2827 = 4.404 MPa (แรงอัด)
คำตอบ
σ2 = 4.404 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 4.205 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 2·1500 = 3000 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN
คำตอบ
Pcr = 4.205 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 25.18 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/5 = 280
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa
คำตอบ
σcr = 25.18 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.04989
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/3)·ln(40/15.6) = 0.3139
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3139/√(39.48 + 0.09851) = 0.04989
คำตอบ
ζ = 0.04989
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: keq = 9.091 kN/m
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
1/keq = 1/100 + 1/10 → keq = 100·10/(100 + 10) = 9.091 kN/m
คำตอบ
keq = 9.091 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design