การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 100 mm ที่ 1440 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 100 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (40 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 960 rpm ขับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (15 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (20 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 960 rpmA = 40B = 72C = 15D = 20

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 200 N·md = 20 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 30 kW ที่ 300 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa และ τₓᵧ = 50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 500 mm ความหนาผนัง 12 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 2 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 30° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_n ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม

D = 500 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaท่อ: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 12 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 25 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.7 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 12 kgk = 25 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 50 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 2.262 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 7.54 m/s

กำลัง

P = (400 − 100)·7.54 = 2262 W = 2.262 kW

คำตอบ

P = 2.262 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 400 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 960·40/72 = 533.3 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 533.3·15/20 = 400 rpm

คำตอบ

n_out = 400 rpm

อัตราทดรวม = 2.4 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 18.71 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·15708) = 0.3265 rad

φ = 0.3265·180/π = 18.71°

คำตอบ

φ = 18.71°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 12.5 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·40/3.056 × 10⁶ = 12.5 MPa

คำตอบ

τ_max = 12.5 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = 64.33 °

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·50, 0 − 80) = 128.7°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = 64.33°

คำตอบ

θ_p = 64.33°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_n = 36.46 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2·250/12 = 41.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20.83 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

σ_n = 20.83·sin²30° + 41.67·cos²30° = 36.46 MPa

คำตอบ

σ_n = 36.46 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 636.6 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 10·1000/78.54 = 127.3 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/200000 = 0.0006366 = 636.6 µε

คำตอบ

ε = 636.6 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 316.4 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·3063 = 4.351 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0008, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0007273·4.351 × 10⁸ = 316444 N = 316.4 kN

คำตอบ

P_max = 316.4 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 7.139 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·6000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/6000² = 7139 N = 7.139 kN

คำตอบ

P_cr = 7.139 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 11.99 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

คำตอบ

σ_cr = 11.99 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 5.188 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(25000/12) = 45.64 rad/s

f_n = 45.64/(2π) = 7.264 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.264·√(1 − 0.7²) = 5.188 Hz

คำตอบ

f_d = 5.188 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 27.27 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/60 + 1/50 → k_eq = 60·50/(60 + 50) = 27.27 kN/m

คำตอบ

k_eq = 27.27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design