การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 40 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 95% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 3 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 15N₂ = 40η = 95%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 15 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 30 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 600 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 15N_p = 30n_s = 600 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลา ทองเหลือง ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm และยาว 1.5 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm และยาว 3 m แรงบิด 1000 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm ยึดที่ A แรงบิด 1000 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 0.8 m และแรงบิด 500 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 2.5 m จงหาขนาดของมุมบิด φ_C ของปลาย C ในหน่วยองศา

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 45° ตามเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_y′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 420 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σ_x = −70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 300 kN จงหาระยะหด δ

P = 300 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 85 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 20 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 20 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 15 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 5 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 140 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 15 kgk = 5 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 100 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 30 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 9.879 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/303.7 = 9.879 N·m

คำตอบ

T₁ = 9.879 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 120 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·30 = 75

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·15/75 = −120 rpm

|n_r| = 120 rpm

คำตอบ

n_r = 120 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 18.25 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิดของแต่ละท่อน

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·1500/(39000·3.106 × 10⁶) = 0.01238 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·3000/(39000·251327) = 0.3061 rad

มุมบิดรวม

φ_C = 0.01238 + 0.3061 = 0.3184 rad = 18.25°

คำตอบ

φ_C = 18.25°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ_C = 2.422 °

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1000 = −500 N·m

มุมบิดของแต่ละท่อน

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −500000·800/(80000·251327) = −0.01989 rad

φ_BC = 500000·2500/(80000·251327) = 0.06217 rad

มุมบิดของปลาย C

φ_C = −0.01989 + 0.06217 = 0.04228 rad → |φ_C| = 2.422°

คำตอบ

φ_C = 2.422°

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_y′ = 15 MPa

สมการการแปลงสำหรับหน้า y′

σ_y′ = 5 − 55·0 − 10·(−1) = 15 MPa

ตรวจสอบ

ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน

σ_x′ = −5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

คำตอบ

σ_y′ = 15 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 2.33

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 15 MPa, R = 90.14 MPa

σ₁ = 105.1 MPa, σ₂ = −75.14 MPa, σ₃ = 0

เทรสกา

σ_max − σ_min = 180.3 MPa

n = 420/180.3 = 2.33

คำตอบ

n = 2.33

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.4658 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·2199 = 5.152 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 300000·800/5.152 × 10⁸ = 0.4658 mm

คำตอบ

δ = 0.4658 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 422.8 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 120.3 MPa

σ₂ = 422.8 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 422.8 MPa

คำตอบ

σ_max = 422.8 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 52.99 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52.99 kN

คำตอบ

P_cr = 52.99 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 37.9 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 37.9 mm

คำตอบ

d = 37.9 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 211.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.2556

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(5000·15) = 547.7 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 140/547.7 = 0.2556

คำตอบ

ζ = 0.2556

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 4.359 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 30 + 30 = 60 kN/m

k_eq = 60·100/(60 + 100) = 37.5 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(37500/50) = 27.39 rad/s

f_n = 27.39/(2π) = 4.359 Hz

คำตอบ

f_n = 4.359 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design