การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 0.37 kW ที่ 1450 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 4 เกลียว เฟืองหนอนมี 30 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 75% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 4N_w = 30n = 1450 rpmP = 0.37 kWη = 75%

T_w = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (32 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1440 rpm ขับเฟือง B (45 ฟัน) เฟือง C (12 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (36 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1440 rpmA = 32B = 45C = 12D = 36

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง เหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 40 mm ภายใน 24 mm ยาว 1 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 2000 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 2000 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 5 kW ที่ 500 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 80 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 150 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σ_vM

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองเหลือง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 15 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 120 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 70 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaท่อ: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 10 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 4 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.35 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 10 kgk = 4 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 30 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 13.71 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 1450·4/30 = 193.3 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·193.3/60 = 20.25 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.75·370/20.25 = 13.71 N·m

คำตอบ

T_w = 13.71 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 341.3 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1440·32/45 = 1024 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 1024·12/36 = 341.3 rpm

คำตอบ

n_out = 341.3 rpm

อัตราทดรวม = 4.219 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 6.548 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

มุมบิด

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(80000·218755) = 0.1143 rad

φ = 0.1143·180/π = 6.548°

คำตอบ

φ = 6.548°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 18.25 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm

คำตอบ

d = 18.25 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 80 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 110 MPa, R = √(40² + 30²) = 50 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 60 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 160, 60)/2 = 80 MPa

คำตอบ

τ_abs = 80 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_vM = 110.9 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 75 MPa, R = 47.17 MPa

σ₁ = 122.2 MPa, σ₂ = 27.83 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(122.2² − 122.2·27.83 + 27.83²) = 110.9 MPa

คำตอบ

σ_vM = 110.9 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 1910 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78.54 = 191 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 191/100000 = 0.00191 = 1910 µε

คำตอบ

ε = 1910 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 651 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·8482 = 1.116 × 10⁹ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.0008, 0.0005833) = 0.0005833 (ทองแดง)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0005833·1.116 × 10⁹ = 651030 N = 651 kN

คำตอบ

P_max = 651 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 4.905 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·4000 = 4000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4.905 kN

คำตอบ

P_cr = 4.905 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 8.567 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

คำตอบ

σ_cr = 8.567 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 2.982 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(4000/10) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.35²) = 2.982 Hz

คำตอบ

f_d = 2.982 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 13.64 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/30 + 1/25 → k_eq = 30·25/(30 + 25) = 13.64 kN/m

คำตอบ

k_eq = 13.64 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design