การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 160 mm ที่ 960 rpm แรงตึงคือ 400 N ที่ด้านตึงและ 160 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 400 NT₂ = 160 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 150 mm กับพูลเลย์ 450 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1200 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 150 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 400 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงต้องส่งกำลัง 75 kW ที่ 500 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.6 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

P = 75 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa และ τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 250 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองแดงภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 50 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 105 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 2 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 2 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 55 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 55 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 12 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 80 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 290 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 12 kgk = 80 kN/mc = 290 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 30 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 40 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 1.93 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 8.042 m/s

กำลัง

P = (400 − 160)·8.042 = 1930 W = 1.93 kW

คำตอบ

P = 1.93 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 165.6 °

มุมของสายพาน

asin(0.125) = 7.181°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·7.181 = 165.6°

คำตอบ

θ = 165.6°

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 2.882 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·79522) = 0.0503 rad

φ = 0.0503·180/π = 2.882°

คำตอบ

φ = 2.882°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 59.4 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·40·0.8704)) = 59.4 mm

d_i = 0.6·59.4 = 35.64 mm

คำตอบ

d_o = 59.4 mm

เพลาตันต้องมี d = 56.71 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 80.78 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 45 MPa, R = √(75² + 30²) = 80.78 MPa

σ₁ = 125.8 MPa, σ₂ = −35.78 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(161.6, 125.8, 35.78)/2 = 80.78 MPa

คำตอบ

τ_abs = 80.78 MPa

ในที่นี้ σ₁ และ σ₂ มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้นค่าสูงสุดในระนาบ R ก็เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ด้วย

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 3.467

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −20 MPa, R = 40 MPa

σ₁ = 20 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(20² − 20·(−60) + (−60)²) = 72.11 MPa

n = 250/72.11 = 3.467

คำตอบ

n = 3.467

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.9069 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองแดง = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/117000 = 0.0006046 = 604.6 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0006046·1500 mm = 0.9069 mm

คำตอบ

δ = 0.9069 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 27.95 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 83.56 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83.56·2000/117000 = 1.428 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928.4·2000/70000 = 26.53 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 27.95 mm

คำตอบ

δ = 27.95 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 4.205 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

คำตอบ

P_cr = 4.205 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 46.16 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 46.16 mm

คำตอบ

d = 46.16 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 173.3 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.148

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 290/1960 = 0.148

คำตอบ

ζ = 0.148

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.082 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 10 + 40 = 50 kN/m

k_eq = 50·30/(50 + 30) = 18.75 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(18750/50) = 19.36 rad/s

f_n = 19.36/(2π) = 3.082 Hz

คำตอบ

f_n = 3.082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design