เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 3 kW หมุนที่ 1440 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 18 ฟันและโมดูล 2 mm จงหาแรงสัมผัส Ft ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก
P = 3 kWn = 1440 rpmN1 = 18m = 2 mm
Ft = N
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 160 mm กับพูลเลย์ 315 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1200 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา
d1 = 160 mmd2 = 315 mmC = 1200 mm
θ = °
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 250 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลากลวงต้องส่งกำลัง 10 kW ที่ 1800 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.75 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
P = 10 kWN = 1800 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −20 MPa, σᵧ = 60 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τmax
σx = −20 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σvM
σx = −80 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งอะลูมิเนียมภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 35 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 160 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 80 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด Pmax
แท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 30 mm ตามด้วยยอด 24.8 mm หนึ่งรอบถัดมา หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
x0 = 30 mmx1 = 24.8 mmn = 1
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 10 kg แขวนจากสปริง k₃ = 30 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 100 kN/m และ k₂ = 60 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: Ft = 1105 N
เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: Ft = 2T/d
แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก
ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 3000/150.8 = 19.89 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์
d = m·N = 2·18 = 36 mm
แรงสัมผัส
Ft = 2T/d = 2·19.89/0.036 = 1105 N
คำตอบ
Ft = 1105 N
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: θ = 172.6 °
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
มุมของสายพาน
asin(0.06458) = 3.703°
มุมโอบ
θ = 180 − 2·3.703 = 172.6°
คำตอบ
θ = 172.6°
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 0.8979 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·613592) = 0.01567 rad
φ = 0.01567·180/π = 0.8979°
คำตอบ
φ = 0.8979°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 18.75 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 53.05 N·m = 53052 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·53052/(π·60·0.6836)) = 18.75 mm
di = 0.75·18.75 = 14.06 mm
คำตอบ
do = 18.75 mm
เพลาตันต้องมี d = 16.51 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τmax = 64.03 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
รัศมีของวงกลมมอร์
τmax = R = √(((−20 − 60)/2)² + −50²) = 64.03 MPa
คำตอบ
τmax = 64.03 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σvM = 91.65 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = −45 MPa, R = 46.1 MPa
σ1 = 1.098 MPa, σ2 = −91.1 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(1.098² − 1.098·(−91.1) + (−91.1)²) = 91.65 MPa
คำตอบ
σvM = 91.65 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 19.1 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 35·1000/78.54 = 445.6 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 445.6/70000 = 0.006366 = 6366 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.006366·3000 mm = 19.1 mm
คำตอบ
δ = 19.1 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: Pmax = 358.7 kN
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4.932 × 10⁸ N
ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด
ε = min(0.0008, 0.0007273) = 0.0007273 (บรอนซ์)
โหลดสูงสุด
Pmax = 0.0007273·4.932 × 10⁸ = 358713 N = 358.7 kN
คำตอบ
Pmax = 358.7 kN
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 28.2 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2100² = 28199 N = 28.2 kN
คำตอบ
Pcr = 28.2 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 12.34 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
คำตอบ
σcr = 12.34 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.03028
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/1)·ln(30/24.8) = 0.1904
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1904/√(39.48 + 0.03623) = 0.03028
คำตอบ
ζ = 0.03028
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 8 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
มีเพียง k1 และ k2 ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k3 จึงรวมแบบส่วนกลับ
k12 = 100 + 60 = 160 kN/m
keq = 160·30/(160 + 30) = 25.26 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(25263/10) = 50.26 rad/s
fn = 50.26/(2π) = 8 Hz
คำตอบ
fn = 8 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design