การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน
n1·N1 = n2·N2
แรงบิด
T2 = T1·(N2/N1)·η
กำลัง
P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ
อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
N1​ = 18N2​ = 60

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 960 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 18 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 60 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 98% หาแรงบิดขาออก T2 บนเพลาของเฟือง

P = 7.5 kWn1 = 960 rpmN1 = 18N2 = 60η = 98%
T2 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
A = 40B = 72C = 45D = 80

มอเตอร์ 1.1 kW ที่ 1450 rpm ขับเฟือง A (40 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (72 ฟัน) เฟือง C (45 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 98% จงหาแรงบิดขาออก Tout

P = 1.1 kWnin = 1450 rpmA = 40B = 72C = 45D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 500 N·md = 30 mmL = 1.2 mφ = ?

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 500 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
d = ?10 kW, 1450 rpm

เพลา อะลูมิเนียม ตันส่งกำลัง 10 kW ที่ 1450 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 1° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด

P = 10 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 90σy​ = 70τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa โดย σz = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τabs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σx = 90 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 130σy​ = 10τxy​ = 30MPa

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 460 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σx = 130 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaσY = 460 MPa
n =
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
Ø 30 mmเหล็กกล้า1.5 mP = 25 kN

หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 25 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 40 mmเหล็กกล้า0.5 mØ 20 mmทองแดง1 mP = 35 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 35 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 0.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 5 md = 80 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 80 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 1.5 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 60 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
k = 25 kN/mc = 220 N·s/mm = 2 kg

มวล 2 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 25 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 220 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 2 kgk = 25 kN/mc = 220 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
k1​ = 10k2​ = 100m = 5 kg

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 10 kN/m และ k₂ = 100 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T2 = 243.7 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

แรงบิดขาออก

T2 = 74.6·60/18·0.98 = 243.7 N·m

คำตอบ

T2 = 243.7 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: Tout = 22.26 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วรอบขาออก

nout = 1450·(40/72)·(45/80) = 453.1 rpm
ωout = 2π·453.1/60 = 47.45 rad/s

กำลังและแรงบิดขาออก

Pout = 1100·0.98² = 1056 W
Tout = Pout/ωout = 1056/47.45 = 22.26 N·m

คำตอบ

Tout = 22.26 N·m
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 5.404 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·79522) = 0.09431 rad
φ = 0.09431·180/π = 5.404°

คำตอบ

φ = 5.404°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 34.87 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง

T = 65.86 N·m = 65857 N·mm
dτ = ∛(16·65857/(π·50)) = 18.86 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·65857/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 34.87 mm

เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด

ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด

d = max(18.86, 34.87) = 34.87 mm

คำตอบ

d = 34.87 mm

ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τabs = 55.81 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σmax − σmin)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

στxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 80 MPa, R = √(10² + 30²) = 31.62 MPa
σ1 = 111.6 MPa, σ2 = 48.38 MPa, σz = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 111.6, 48.38)/2 = 55.81 MPa

คำตอบ

τabs = 55.81 MPa

ในที่นี้วงกลมนอกระนาบเป็นตัวกำหนด: ค่าสูงสุดสัมบูรณ์มากกว่าค่าสูงสุดในระนาบ R

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 3.391

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2

στxyCσ1​σ2​

ความเค้นหลัก

C = 70 MPa, R = 67.08 MPa
σ1 = 137.1 MPa, σ2 = 2.918 MPa, σ3 = 0

ฟอน มิเซส

σvM = √(137.1² − 137.1·2.918 + 2.918²) = 135.6 MPa
n = 460/135.6 = 3.391

คำตอบ

n = 3.391

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.2653 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706.9 = 35.37 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 35.37/200000 = 0.0001768 = 176.8 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0001768·1500 mm = 0.2653 mm

คำตอบ

δ = 0.2653 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.022 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 111.4 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ1 = σ1L1/E1 = 27.85·500/200000 = 0.06963 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 111.4·1000/117000 = 0.9522 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.022 mm

คำตอบ

δ = 1.022 mm
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 635 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

คำตอบ

Pcr = 635 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 197.4 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/15 = 100

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

คำตอบ

σcr = 197.4 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.4919

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·2) = 447.2 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/cc = 220/447.2 = 0.4919

คำตอบ

ζ = 0.4919

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fn = 23.61 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2

keq = 10 + 100 = 110 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ωn = √(110000/5) = 148.3 rad/s
fn = 148.3/(2π) = 23.61 Hz

คำตอบ

fn = 23.61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design