การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 36 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 1.5 mm และอัตราทดความเร็ว 2 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 36 mmm = 1.5 mmi = 2

N₂ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 18 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 30 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 900 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 18N_p = 30n_s = 900 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 500 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.8 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

T = 500 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงต้องส่งกำลัง 10 kW ที่ 500 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.6 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

P = 10 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = −60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

เพลาตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm รับ โมเมนต์ดัด 100 N·m ร่วมกับแรงบิด 250 N·m ที่ผิวด้านบน ซึ่งความเค้นดัดเป็นแรงดึงและมีค่ามากที่สุด จงหาความเค้นเฉือนในระนาบสูงสุด τ_max

d = 25 mmM = 100 N·mT = 250 N·m

τ_max = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 100 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 25 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 15 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 100 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.7 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 15 kgk = 100 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 20 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 30 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 20 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 32

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·36/1.5 = 48

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

N₂ = 2·16 = 32

คำตอบ

N₂ = 32

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 207.7 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·30 = 78

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·18/78 = −207.7 rpm

|n_r| = 207.7 rpm

คำตอบ

n_r = 207.7 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 38.6 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0.5904)) = 38.6 mm

d_i = 0.8·38.6 = 30.88 mm

คำตอบ

d_o = 38.6 mm

เพลาตันต้องมี d = 32.38 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 30.34 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·40·0.8704)) = 30.34 mm

d_i = 0.6·30.34 = 18.21 mm

คำตอบ

d_o = 30.34 mm

เพลาตันต้องมี d = 28.97 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = −29.87 °

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·−60, 120 − 50) = −59.74°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = −29.87°

คำตอบ

θ_p = −29.87°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 87.76 MPa

ความเค้นที่ผิว

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65.19 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa

วงกลมของมอร์

C = σ/2 = 32.59 MPa

R = √(32.59² + 81.49²) = 87.76 MPa

คำตอบ

τ_max = 87.76 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.528 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 203.7/200000 = 0.001019 = 1019 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.001019·1500 mm = 1.528 mm

คำตอบ

δ = 1.528 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 221 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 35.37 MPa

σ₂ = 221 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 221 MPa

คำตอบ

σ_max = 221 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 4.284 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·3000 = 6000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4.284 kN

คำตอบ

P_cr = 4.284 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 2.763 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa

คำตอบ

σ_cr = 2.763 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 9.28 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(100000/15) = 81.65 rad/s

f_n = 81.65/(2π) = 12.99 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12.99·√(1 − 0.7²) = 9.28 Hz

คำตอบ

f_d = 9.28 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 12 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/30 + 1/20 → k_eq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m

คำตอบ

k_eq = 12 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design