เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
พูลเลย์ 80 mm ที่ 1500 rpm ขับพูลเลย์ 315 mm ด้วยสายพานที่ลื่น 1.5 % จงหาความเร็ว n2 ของพูลเลย์ตาม
n1 = 1500 rpmd1 = 80 mmd2 = 315 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
มอเตอร์ 1.5 kW ที่ 960 rpm ขับเฟือง A (15 ฟัน) ซึ่งขบกับเฟือง B (20 ฟัน) เฟือง C (16 ฟัน) บนเพลาเดียวกับ B ขับเฟือง D (25 ฟัน) บนเพลาขาออก การขบของเฟืองแต่ละคู่มีประสิทธิภาพ 96% จงหาแรงบิดขาออก Tout
P = 1.5 kWnin = 960 rpmA = 15B = 20C = 16D = 25ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลากลวงต้องรับแรงบิด 500 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.7 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด do
T = 500 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.การบิดของเพลายาก
เพลา ทองเหลือง ตันส่งกำลัง 50 kW ที่ 1500 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.75° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa และ τₓᵧ = 20 MPa (แรงดึงเป็นบวก) ชิ้นส่วนย่อยถูกหมุน 45° ตามเข็มนาฬิกา จงหาความเค้นตั้งฉาก σy′ บนหน้าของชิ้นส่วนย่อยที่หมุนแล้วซึ่งตั้งฉากกับแกน y′ ที่หมุนแล้ว
σx = 20 MPaσy = 70 MPaτxy = 20 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 250 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)
σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaσY = 250 MPa
n =
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 110 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาระยะหด δ
P = 80 kNแท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 30 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 1.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 0.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 130 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 130 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 80 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 20 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.35 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 80 kgk = 20 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 100 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 60 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 80 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล keq ของระบบสปริงใน kN/m
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: n2 = 375.2 rpm
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
ความเร็วเมื่อไม่มีการลื่น
1500·80/315 = 381 rpm
เมื่อมีการลื่น
n2 = 381·0.985 = 375.2 rpm
คำตอบ
n2 = 375.2 rpm
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: Tout = 28.65 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ความเร็วรอบขาออก
nout = 960·(15/20)·(16/25) = 460.8 rpm
ωout = 2π·460.8/60 = 48.25 rad/s
กำลังและแรงบิดขาออก
Pout = 1500·0.96² = 1382 W
Tout = Pout/ωout = 1382/48.25 = 28.65 N·m
คำตอบ
Tout = 28.65 N·m
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: do = 40.62 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0.7599)) = 40.62 mm
di = 0.7·40.62 = 28.43 mm
คำตอบ
do = 40.62 mm
เพลาตันต้องมี d = 37.07 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 50.2 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·318310/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 50.2 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(27.86, 50.2) = 50.2 mm
คำตอบ
d = 50.2 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σy′ = 65 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลงสำหรับหน้า y′
σy′ = 45 − (−25)·0 − 20·(−1) = 65 MPa
ตรวจสอบ
ผลรวมของความเค้นตั้งฉากไม่เปลี่ยนเมื่อหมุน
σx′ = 25 MPa, σx′ + σy′ = 90 = σx + σy
คำตอบ
σy′ = 65 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: n = 1.75
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σY ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σY/2
ความเค้นหลัก
C = 30 MPa, R = 80.62 MPa
σ1 = 110.6 MPa, σ2 = −50.62 MPa, σ3 = 0
ฟอน มิเซส
σvM = √(110.6² − 110.6·(−50.62) + (−50.62)²) = 142.8 MPa
n = 250/142.8 = 1.75
คำตอบ
n = 1.75
n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.1411 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·2199 = 3.401 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 80000·600/3.401 × 10⁸ = 0.1411 mm
คำตอบ
δ = 0.1411 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.557 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 42.44 MPa
σ2 = 95.49 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 42.44·1500/200000 = 0.3183 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 95.49·500/200000 = 0.2387 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.557 mm
คำตอบ
δ = 0.557 mm
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 98.26 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 1·1500 = 1500 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1500² = 98257 N = 98.26 kN
คำตอบ
Pcr = 98.26 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 57.24 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57.24 mm
คำตอบ
d = 57.24 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 139.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 2.357 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(20000/80) = 15.81 rad/s
fn = 15.81/(2π) = 2.516 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.35²) = 2.357 Hz
คำตอบ
fd = 2.357 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: keq = 34.29 kN/m
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k1 + 1/k2
1/keq = 1/60 + 1/80 → keq = 60·80/(60 + 80) = 34.29 kN/m
คำตอบ
keq = 34.29 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design