การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 72 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 1.5 mm และอัตราทดความเร็ว 3 : 1 เฟืองใหญ่ต้องมีกี่ฟัน N₂

a = 72 mmm = 1.5 mmi = 3

N₂ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 30 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน โครงพาเฟืองดาวเคราะห์ถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1500 rpm จงหาความเร็ว n_r ของเฟืองวงแหวน (ขนาด)

N_s = 30N_p = 18n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง อะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 80 mm ภายใน 48 mm ยาว 1 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 500 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 500 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 20 kW ที่ 750 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 140 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 45° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 100 GPa) ทั้งสองยาว 600 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาระยะหด δ

P = 80 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 400 mm, E = 110 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: บรอนซ์, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 4 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ต้องรับ 95 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 95 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 80 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 150 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 2080 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 80 kgk = 150 kN/mc = 2080 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 5 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 25 kN/m และ k₂ = 50 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₂ = 72

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·72/1.5 = 96

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

คำตอบ

N₂ = 72

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_r = 681.8 rpm

ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว

จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·18 = 66

สมการวิลลิสเมื่อยึดโครงพา

เมื่อ n_c = 0 เฟืองดวงอาทิตย์ขับเฟืองวงแหวนผ่านเฟืองดาวเคราะห์ ซึ่งทำหน้าที่เป็นเฟืองกลาง

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·30/66 = −681.8 rpm

|n_r| = 681.8 rpm

คำตอบ

n_r = 681.8 rpm

เฟืองวงแหวนหมุนสวนทางกับเฟืองดวงอาทิตย์

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 0.3148 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

มุมบิด

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1000/(26000·3.5 × 10⁶) = 0.005494 rad

φ = 0.005494·180/π = 0.3148°

คำตอบ

φ = 0.3148°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 31.89 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·40)) = 31.89 mm

คำตอบ

d = 31.89 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 90.14 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((140 − −30)/2)² + 30²) = 90.14 MPa

คำตอบ

τ_max = 90.14 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_θ = −5 MPa

สมการการแปลง

τ_θ = −−5·−1 + 60·0 = −5 MPa

คำตอบ

τ_θ = −5 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.05712 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 80000·600/8.404 × 10⁸ = 0.05712 mm

คำตอบ

δ = 0.05712 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 54.48 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 110000·706.9/400 = 194386 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 80000·194386/403826 = 38509 N

ความเค้น

σ₂ = 38509/706.9 = 54.48 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 54.48 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 31.09 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31.09 kN

คำตอบ

P_cr = 31.09 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 120.4 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 120.4 mm

คำตอบ

d = 120.4 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 166.1 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.3002

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·80) = 6928 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 2080/6928 = 0.3002

คำตอบ

ζ = 0.3002

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 19.49 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 25 + 50 = 75 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(75000/5) = 122.5 rad/s

f_n = 122.5/(2π) = 19.49 Hz

คำตอบ

f_n = 19.49 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design