การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 120 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 2 mm และอัตราทดความเร็ว 3 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N₁

a = 120 mmm = 2 mmi = 3

N₁ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (50 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (24 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (48 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 1450 rpmA = 50B = 80C = 24D = 48

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 50 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 300 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 5.28° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ

T = 50 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 5.28°

G = GPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm ยึดที่ A แรงบิด 100 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 1.5 m และแรงบิด 750 N·m ในทิศทางตรงข้ามกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 1.5 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 750 N·mAB = 1.5 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 50 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa และ τₓᵧ = −50 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σ_θ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 45° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 300 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.2 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 300 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 300 mm, E = 70 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 60 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: อะลูมิเนียม, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 50 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 200 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 510 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

m = 50 kgk = 200 kN/mc = 510 N·s/m

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 30 kN/m และ k₂ = 12 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/2 = 120

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 120/(1 + 3) = 30

คำตอบ

N₁ = 30

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 453.1 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 1450·50/80 = 906.3 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 906.3·24/48 = 453.1 rpm

คำตอบ

n_out = 453.1 rpm

อัตราทดรวม = 3.2 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: G = 79.96 GPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5.28·π/180 = 0.09215 rad

มอดูลัสเฉือน

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(2036·0.09215) = 79957 MPa

G = 79.96 GPa

คำตอบ

G = 79.96 GPa

เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 30.56 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 100 = 650 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·50³) = 30.56 MPa

คำตอบ

τ_max = 30.56 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 46.1 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((50 − 120)/2)² + −30²) = 46.1 MPa

คำตอบ

τ_max = 46.1 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_θ = 105 MPa

สมการการแปลง

σ_θ = 55 + 5·0 + −50·−1 = 105 MPa

คำตอบ

σ_θ = 105 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 29.57 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.2/6.764 × 10⁻⁶ = 29568 N = 29.57 kN

คำตอบ

P = 29.57 kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 10.8 MPa

ความแข็ง

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 60000·458149/1.296 × 10⁶ = 21212 N

ความเค้น

σ₂ = 21212/1963 = 10.8 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 10.8 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 3.473 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·5000 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3.473 kN

คำตอบ

P_cr = 3.473 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 197.4 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7.5 = 100

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

คำตอบ

σ_cr = 197.4 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.08064

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

การหน่วงวิกฤต

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·50) = 6325 N·s/m

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = c/c_c = 510/6325 = 0.08064

คำตอบ

ζ = 0.08064

ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 42 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 30 + 12 = 42 kN/m

คำตอบ

k_eq = 42 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design