การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 120 mm ที่ 1500 rpm แรงตึงคือ 800 N ที่ด้านตึงและ 240 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d₁ = 120 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในขบวนเฟืองผสม เฟือง A (24 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm และขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ยึดติดกับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D บนเพลาขาออก เพลาขาออกต้องหมุนที่ 217.5 rpm เฟือง D ต้องมีกี่ฟัน N_D

n_in = 1450 rpmA = 24B = 80C = 20n_out = 217.5 rpm

N_D =

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 250 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.7 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

T = 250 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 15 kW ที่ 500 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หามุม θ_p จากแกน x ไปยังทิศทางของความเค้นหลักที่มากที่สุด ระหว่าง −90° ถึง 90°

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0) จงหาความเค้นสมมูลฟอน มิเซส σ_vM

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งทองเหลืองภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 10 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 120 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 30 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 20 mm ตามด้วยยอด 13.7 mm หนึ่งรอบถัดมา หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 20 mmx₁ = 13.7 mmn = 1

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 20 kN/m และ k₂ = 15 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 5.278 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 9.425 m/s

กำลัง

P = (800 − 240)·9.425 = 5278 W = 5.278 kW

คำตอบ

P = 5.278 kW

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

ความเร็วของเพลากลาง

n_B = n_C = 1450·24/80 = 435 rpm

จำนวนฟันของเฟือง D

N_D = C·n_C/n_out = 20·435/217.5 = 40

คำตอบ

N_D = 40

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 32.24 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·50·0.7599)) = 32.24 mm

d_i = 0.7·32.24 = 22.57 mm

คำตอบ

d_o = 32.24 mm

เพลาตันต้องมี d = 29.42 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 30.79 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·50)) = 30.79 mm

คำตอบ

d = 30.79 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: θ_p = −22.5 °

มุมบนวงกลม

จุด x อยู่ที่มุม 2θp จากแกน σ บนวงกลมของมอร์ ควอดรันต์ได้จากเครื่องหมายของ σₓ − σᵧ และ τₓᵧ

2θ_p = atan2(2·−10, 10 − −10) = −45°

มุมบนชิ้นส่วน

θ_p = −22.5°

คำตอบ

θ_p = −22.5°

มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_vM = 113.6 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 105 MPa, R = 25 MPa

σ₁ = 130 MPa, σ₂ = 80 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √(130² − 130·80 + 80²) = 113.6 MPa

คำตอบ

σ_vM = 113.6 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.243 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201.1 = 49.74 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49.74/100000 = 0.0004974 = 497.4 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0004974·2500 mm = 1.243 mm

คำตอบ

δ = 1.243 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 596.8 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 95.49 MPa

σ₂ = 596.8 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 596.8 MPa

คำตอบ

σ_max = 596.8 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 14.02 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14.02 kN

คำตอบ

P_cr = 14.02 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 4.819 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6.25 = 640

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa

คำตอบ

σ_cr = 4.819 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.06011

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/1)·ln(20/13.7) = 0.3783

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3783/√(39.48 + 0.1431) = 0.06011

คำตอบ

ζ = 0.06011

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 35 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k₁ + k₂

k_eq = 20 + 15 = 35 kN/m

คำตอบ

k_eq = 35 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design