การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 1500 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 25 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 80 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 1.5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 25N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ 100 mm กับพูลเลย์ 450 mm ซึ่งศูนย์กลางห่างกัน 1200 mm จงหามุมโอบ θ บนพูลเลย์ที่เล็กกว่า ในหน่วยองศา

d₁ = 100 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวง เหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 50 mm ภายใน 30 mm ยาว 2 m) ถูกยึดที่ปลายหนึ่งและถูกบิดด้วยแรงบิด 1000 N·m ที่อีกปลาย จงหามุมบิด φ ในหน่วยองศา

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลาตันต้องส่งกำลัง 10 kW ที่ 1000 rpm โดยความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 75 MPa หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d ที่ใช้ได้

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −30 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa โดย σ_z = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τ_abs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)

σ_x = 30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 800 mm ความหนาผนัง 10 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 0.5 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 20° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_n ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม

D = 800 mmt = 10 mmp = 0.5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งทองเหลือง ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 55 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σ_max ในแท่ง

P = 35 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 1.5 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 2 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 80 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 140 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 140 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 12 mm ตามด้วยยอด 2.6 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 12 mmx₄ = 2.6 mmn = 4

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 100 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 80 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 9.549 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m

คำตอบ

T₁ = 9.549 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: θ = 163.2 °

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมของสายพาน

asin(0.1458) = 8.386°

มุมโอบ

θ = 180 − 2·8.386 = 163.2°

คำตอบ

θ = 163.2°

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 2.682 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

มุมบิด

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·534071) = 0.04681 rad

φ = 0.04681·180/π = 2.682°

คำตอบ

φ = 2.682°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d = 18.65 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางจากความเค้นที่ยอมให้

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18.65 mm

คำตอบ

d = 18.65 mm

ในทางปฏิบัติควรปัดขึ้นเป็นขนาดมาตรฐานถัดไป

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_abs = 67.08 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σ_max − σ_min)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์

ความเค้นหลักในระนาบ

C = 0 MPa, R = √(30² + 60²) = 67.08 MPa

σ₁ = 67.08 MPa, σ₂ = −67.08 MPa, σ_z = 0

วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134.2, 67.08, 67.08)/2 = 67.08 MPa

คำตอบ

τ_abs = 67.08 MPa

ในที่นี้ σ₁ และ σ₂ มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้นค่าสูงสุดในระนาบ R ก็เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ด้วย

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_n = 18.83 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0.5·400/10 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

σ_n = 10·sin²20° + 20·cos²20° = 18.83 MPa

คำตอบ

σ_n = 18.83 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 7003 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78.54 = 700.3 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for ทองเหลือง = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 700.3/100000 = 0.007003 = 7003 µε

คำตอบ

ε = 7003 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ_max = 174.1 MPa

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 36.38 MPa

σ₂ = 174.1 MPa

ความเค้นสูงสุด

ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า

σ_max = 174.1 MPa

คำตอบ

σ_max = 174.1 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 635 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·2500 = 2500 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2500² = 635009 N = 635 kN

คำตอบ

P_cr = 635 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 61.65 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.65 mm

คำตอบ

d = 61.65 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 129.8 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.06074

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(12/2.6) = 0.3823

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3823/√(39.48 + 0.1462) = 0.06074

คำตอบ

ζ = 0.06074

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 10.61 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/100 + 1/80 → k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44.44 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(44444/10) = 66.67 rad/s

f_n = 66.67/(2π) = 10.61 Hz

คำตอบ

f_n = 10.61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design