การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน
n1·N1 = n2·N2
แรงบิด
T2 = T1·(N2/N1)·η
กำลัง
P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ
อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน
τ = T·r/J
เพลาตัน
J = πd⁴/32
เพลากลวง
J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด
φ = TL/(GJ)
กำลัง
P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

  1. หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
  2. ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
  3. มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
  4. ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง
C = (σx + σy)/2
รัศมี
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลัก
σ1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
พื้นเอียง
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

วิธีการ

  1. คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
  2. คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
  3. ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
  4. มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก
σ = F/A
ความเครียด
ε = ΔL/L
กฎของฮุก
σ = E·ε
ความยืด
ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน
εT = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
Pcr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต
σcr = Pcr/A
ความเพรียว
λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต
ωn = √(g/δst)
การหน่วงวิกฤต
cc = 2√(km) = 2mωn
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc
ความถี่ที่ถูกหน่วง
ωd = ωn√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน
k = k1 + k2
สปริงต่ออนุกรม
1/k = 1/k1 + 1/k2

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
d1​ = 80 mmd2​ = 400 mm720 rpmT1​ = 800 NT2​ = 320 NP = ?

สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 80 mm ที่ 720 rpm แรงตึงคือ 800 N ที่ด้านตึงและ 320 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW

d1 = 80 mmn1 = 720 rpmT1 = 800 NT2 = 320 N
P = kW
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
d1​ = 200 mmd2​ = 315 mm960 rpmC = 800 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 960 rpm กับพูลเลย์ 315 mm ศูนย์กลางห่างกัน 800 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.3 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 1000 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d1 = 200 mmn1 = 960 rpmd2 = 315 mmC = 800 mmμ = 0.3T1 = 1000 N
P = kW
3.การบิดของเพลาปานกลาง
T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

เพลาตันเหล็กกล้าถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
d = 25 mmT0​ = 200 N·mACBa = 2 mb = 0.5 m

เพลา อะลูมิเนียม ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 200 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 2 m และห่างจาก B 0.5 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา TA ที่ผนัง A

d = 25 mmT0 = 200 N·ma = 2 mb = 0.5 m
TA = N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
σx​ = 70σy​ = 80MPaτxy​ = ?

จุดหนึ่งมี σₓ = 70 MPa และ σᵧ = 80 MPa ความเค้นเฉือน τxy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 105 MPa

σx = 70 MPaσy = 80 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
σx​ = 80σy​ = 110τxy​ = −20MPa

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = −20 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 45° ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)

σx = 80 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
τθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
100 kNØ40120 GPaØ100/50800 mmδ = ?

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 100 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 120 GPa) ทั้งสองยาว 800 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 100 kN จงหาระยะหด δ

P = 100 kNแท่ง: Ø40 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
Ø 35 mmเหล็กกล้า2 mØ 20 mmเหล็กกล้า1 mP = 20 kN

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 20 kNช่วงที่ 1: Ø35 mm, 2 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 1 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
PL = 1.5 m20 × 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr

L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
PL = 6 md = 60 mmหน้าตัด

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์

L = 6 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 60 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
k = 4 kN/mζ = 0.45m = 40 kg

มวล 40 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 4 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.45 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 40 kgk = 4 kN/mζ = 0.45
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
k1​ = 20k2​ = 100k3​ = 100m = 10 kg

มวล 10 kg แขวนจากสปริง k₃ = 100 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 20 kN/m และ k₂ = 100 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 1.448 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

ความเร็วสายพาน

v = 3.016 m/s

กำลัง

P = (800 − 320)·3.016 = 1448 W = 1.448 kW

คำตอบ

P = 1.448 kW
2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 5.963 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.998 rad

แรงตึงด้านหย่อน

eμθ = e0.8993 = 2.458, T₂ = 1000/2.458 = 406.8 N

กำลัง

P = (1000 − 406.8)·10.05 = 5.963 kW

คำตอบ

P = 5.963 kW
3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 1.14 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·251327) = 0.01989 rad
φ = 0.01989·180/π = 1.14°

คำตอบ

φ = 1.14°
4.การบิดของเพลา

คำตอบ: TA = 40 N·m

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)

สมดุลและความสอดคล้อง

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·0.5/2.5 = 40 N·m
TB = 200·2/2.5 = 160 N·m

คำตอบ

TA = 40 N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τxy = 29.58 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

รัศมีที่ต้องการ

C = (70 + 80)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 105 − 75 = 30 MPa
στxyCσ1​σ2​

ความเค้นเฉือน

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 5²) = 29.58 MPa

คำตอบ

τxy = 29.58 MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τθ = −15 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R

สมการการแปลง

τθ = −−15·−1 + −20·0 = −15 MPa

คำตอบ

τθ = −15 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.08349 mm

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9.582 × 10⁸ N

ระยะหด

δ = 100000·800/9.582 × 10⁸ = 0.08349 mm

คำตอบ

δ = 0.08349 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 0.5262 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 20.79 MPa
σ2 = 63.66 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ1 = σ1L1/E1 = 20.79·2000/200000 = 0.2079 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63.66·1000/200000 = 0.3183 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.5262 mm

คำตอบ

δ = 0.5262 mm
9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: Pcr = 12.28 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·1500 = 1500 mm

น้ำหนักวิกฤต

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1500² = 12282 N = 12.28 kN

คำตอบ

Pcr = 12.28 kN
10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σcr = 1.079 MPa

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800

ความเค้นวิกฤต

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa

คำตอบ

σcr = 1.079 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fd = 1.421 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ωn = √(4000/40) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.45²) = 1.421 Hz

คำตอบ

fd = 1.421 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: fn = 11.75 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k1 และ k2 ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k3 จึงรวมแบบส่วนกลับ

k12 = 20 + 100 = 120 kN/m
keq = 120·100/(120 + 100) = 54.55 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ωn = √(54545/10) = 73.85 rad/s
fn = 73.85/(2π) = 11.75 Hz

คำตอบ

fn = 11.75 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design