การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

เพลาขนานสองเพลาห่างกัน 112 mm ต้องต่อกันด้วยเฟืองตรงคู่หนึ่งที่มีโมดูล 4 mm และอัตราทดความเร็ว 2.5 : 1 เฟืองขนาดเล็กต้องมีกี่ฟัน N₁

a = 112 mmm = 4 mmi = 2.5

N₁ =

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 200 mm ที่ 720 rpm กับพูลเลย์ 500 mm ศูนย์กลางห่างกัน 600 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.3 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 1500 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 1500 N

P = kW

3.การบิดของเพลาปานกลาง

ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 100 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 250 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 1.14° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ

T = 100 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1.14°

G = GPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงต้องส่งกำลัง 30 kW ที่ 300 rpm เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.6 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 60 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งมี σₓ = 110 MPa และ σᵧ = 90 MPa ความเค้นเฉือน τ_xy (ขนาด) เพิ่มได้มากที่สุดเท่าใดก่อนที่ความเค้นหลักตัวใหญ่ที่สุดจะถึง 125 MPa

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 420 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์เทรสกา (ความเค้นเฉือนสูงสุด)

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน

P = 80 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ

P = 25 kNช่วงที่ 1: Ø30 mm, 2 m, เหล็กกล้า (E = 200 GPa)ช่วงที่ 2: Ø16 mm, 1 m, ทองแดง (E = 117 GPa)

δ = mm

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดด้วยหมุดทั้งสองปลาย หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σ_cr จากสูตรของออยเลอร์

L = 1 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 200 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 200 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 25 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 12 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: N₁ = 16

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

จำนวนฟันทั้งหมด

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·112/4 = 56

แบ่งตามอัตราส่วน

N₁ = 56/(1 + 2.5) = 16

คำตอบ

N₁ = 16

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 6.181 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 2.636 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.7909 = 2.205, T₂ = 1500/2.205 = 680.2 N

กำลัง

P = (1500 − 680.2)·7.54 = 6.181 kW

คำตอบ

P = 6.181 kW

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: G = 79.99 GPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1.14·π/180 = 0.0199 rad

มอดูลัสเฉือน

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(15708·0.0199) = 79990 MPa

G = 79.99 GPa

คำตอบ

G = 79.99 GPa

เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 45.33 mm

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0.8704)) = 45.33 mm

d_i = 0.6·45.33 = 27.2 mm

คำตอบ

d_o = 45.33 mm

เพลาตันต้องมี d = 43.28 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_xy = 22.91 MPa

รัศมีที่ต้องการ

C = (110 + 90)/2 = 100 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 100 = 25 MPa

ความเค้นเฉือน

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 10²) = 22.91 MPa

คำตอบ

τ_xy = 22.91 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 4.95

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = 40 MPa, R = 42.43 MPa

σ₁ = 82.43 MPa, σ₂ = −2.426 MPa, σ₃ = 0

เทรสกา

σ_max − σ_min = 84.85 MPa

n = 420/84.85 = 4.95

คำตอบ

n = 4.95

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.63 mm

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490.9 = 163 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 163/200000 = 0.0008149 = 814.9 µε

ความยืด

δ = ε·L = 0.0008149·2000 mm = 1.63 mm

คำตอบ

δ = 1.63 mm

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: δ = 1.416 mm

ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน

แรงเท่ากันทั้งสองช่วง

ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 35.37 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

รวมความยืดของแต่ละช่วง

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35.37·2000/200000 = 0.3537 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124.3·1000/117000 = 1.063 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.416 mm

คำตอบ

δ = 1.416 mm

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 28.79 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 1·5000 = 5000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28.79 kN

คำตอบ

P_cr = 28.79 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: σ_cr = 69.09 MPa

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

รัศมีไจเรชันและความเพรียว

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

ความเค้นวิกฤต

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

คำตอบ

σ_cr = 69.09 MPa

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 2.013 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(50000/200) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.6²) = 2.013 Hz

คำตอบ

f_d = 2.013 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 2.866 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/25 + 1/12 → k_eq = 25·12/(25 + 12) = 8.108 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(8108/25) = 18.01 rad/s

f_n = 18.01/(2π) = 2.866 Hz

คำตอบ

f_n = 2.866 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design