การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 1.5 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองขนาดเล็กที่มี 24 ฟันและโมดูล 2.5 mm จงหาแรงสัมผัส F_t ที่ฟันของเฟืองขนาดเล็ก

P = 1.5 kWn = 2900 rpmN₁ = 24m = 2.5 mm

F_t = N

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (32 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 960 rpm ขับเฟือง B (45 ฟัน) เฟือง C (16 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (60 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 960 rpmA = 32B = 45C = 16D = 60

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

ในการทดสอบการบิด ชิ้นงานตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 12 mm ถูกบิดด้วยแรงบิด 40 N·m ปลายทั้งสองของความยาวเกจ 250 mm หมุนสัมพัทธ์กัน 3.52° (วัสดุยังอยู่ในช่วงยืดหยุ่น) จงหาโมดูลัสเฉือน G ของวัสดุ

T = 40 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 3.52°

G = GPa

4.การบิดของเพลายาก

เพลา ทองเหลือง ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 60 mm ยึดที่ A แรงบิด 500 N·m กระทำที่ B ห่างจาก A 2.5 m และแรงบิด 250 N·m ในทิศทางเดียวกันกระทำที่ปลายอิสระ C ซึ่งอยู่ถัดไปอีก 0.8 m จงหาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa และ τₓᵧ = 30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1500 mm ความหนาผนัง 8 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 1.2 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 50° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_n ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม

D = 1500 mmt = 8 mmp = 1.2 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

แท่งหนึ่งประกอบด้วยท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 500 mm, E = 200 GPa) ต่อปลายชนปลายกับท่อนที่ทำจากทองแดง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm, ยาว 400 mm, E = 120 GPa) ยึดปลายหนึ่งและดึงอีกปลาย จงหาโหลดตามแนวแกน P ที่ทำให้มันยืดทั้งหมด 0.4 mm

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองแดง, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 150 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 80 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 60 mm, E = 100 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 70 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaท่อ: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 2 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 15 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2.5 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 15 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

มวล 20 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 15 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง f_d ของการสั่นอิสระใน Hz

m = 20 kgk = 15 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 50 kg แขวนจากสปริง k₃ = 60 kN/m ปลายบนของ k₃ ติดกับคานแข็งที่แขวนจากสปริงสองตัวเคียงกัน k₁ = 25 kN/m และ k₂ = 12 kN/m คานอยู่ในแนวระดับ ไม่คิดการหน่วงและมวลของสปริงและคาน หาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นแนวดิ่งใน Hz

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: F_t = 164.6 N

เรขาคณิตของเฟือง: โมดูล m กำหนดขนาดฟัน เฟืองที่มี N ฟันมีเส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์ d = m·N เฟืองสองตัวที่ขบกันมีโมดูลเท่ากัน และระยะห่างระหว่างศูนย์กลางคือ a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 ความเร็วที่เส้นพิตช์คือ v = π·d·n/60 และแรงสัมผัสที่ฟันได้จากแรงบิด: F_t = 2T/d

แรงบิดที่เฟืองขนาดเล็ก

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T = P/ω = 1500/303.7 = 4.939 N·m

เส้นผ่านศูนย์กลางพิตช์

d = m·N = 2.5·24 = 60 mm

แรงสัมผัส

F_t = 2T/d = 2·4.939/0.06 = 164.6 N

คำตอบ

F_t = 164.6 N

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 182 rpm

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ขั้นแรก

n_B = 960·32/45 = 682.7 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 682.7·16/60 = 182 rpm

คำตอบ

n_out = 182 rpm

อัตราทดรวม = 5.273 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: G = 79.96 GPa

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วและมุม

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 3.52·π/180 = 0.06144 rad

มอดูลัสเฉือน

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(2036·0.06144) = 79957 MPa

G = 79.96 GPa

คำตอบ

G = 79.96 GPa

เปรียบเทียบ: เหล็กกล้า ≈ 80 GPa, ทองเหลือง ≈ 39 GPa, อะลูมิเนียม ≈ 26 GPa

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 17.68 MPa

แรงบิดภายใน

ให้ทิศของ T_C เป็นบวก

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

ความเค้นเฉือนสูงสุด

ท่อนที่มีแรงบิดภายในมากที่สุดมีความเค้นมากที่สุด (เส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน)

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa

คำตอบ

τ_max = 17.68 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 54.08 MPa

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((10 − −80)/2)² + 30²) = 54.08 MPa

คำตอบ

τ_max = 54.08 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_n = 79.49 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1.2·750/8 = 112.5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56.25 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

σ_n = 56.25·sin²50° + 112.5·cos²50° = 79.49 MPa

คำตอบ

σ_n = 79.49 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P = 48.47 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

ความอ่อนตัว

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N

โหลด

P = 0.4/8.252 × 10⁻⁶ = 48470 N = 48.47 kN

คำตอบ

P = 48.47 kN

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 222.7 kN

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·2199 = 3.181 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00075, 0.0007) = 0.0007 (ทองเหลือง)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0007·3.181 × 10⁸ = 222660 N = 222.7 kN

คำตอบ

P_max = 222.7 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 128.5 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128.5 kN

คำตอบ

P_cr = 128.5 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 55.77 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 55.77 mm

คำตอบ

d = 55.77 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 358.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_d = 3.487 Hz

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง

ω_n = √(15000/20) = 27.39 rad/s

f_n = 27.39/(2π) = 4.359 Hz

ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4.359·√(1 − 0.6²) = 3.487 Hz

คำตอบ

f_d = 3.487 Hz

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 3.405 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

มีเพียง k₁ และ k₂ ที่ขนานกัน คู่นั้นต่ออนุกรมกับ k₃ จึงรวมแบบส่วนกลับ

k₁₂ = 25 + 12 = 37 kN/m

k_eq = 37·60/(37 + 60) = 22.89 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(22887/50) = 21.39 rad/s

f_n = 21.39/(2π) = 3.405 Hz

คำตอบ

f_n = 3.405 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design