เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 15 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 25 ฟัน คู่เฟืองมีประสิทธิภาพ 97% หาแรงบิดขาออก T2 บนเพลาของเฟือง
P = 7.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 15N2 = 25η = 97%
T2 = N·m
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองดาวเคราะห์ เฟืองดวงอาทิตย์มี 24 ฟัน และเฟืองดาวเคราะห์แต่ละตัวมี 18 ฟัน เฟืองวงแหวนถูกยึดอยู่กับที่ และเฟืองดวงอาทิตย์ถูกขับที่ 1440 rpm จงหาความเร็ว nc ของโครงพาเฟืองดาวเคราะห์
Ns = 24Np = 18ns = 1440 rpm
nc = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลาตันทองเหลืองถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา
T = 750 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา เหล็กกล้า ตันส่งกำลัง 20 kW ที่ 1000 rpm ความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 50 MPa และมุมบิดต้องไม่เกิน 0.25° ต่อความยาว m จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางที่น้อยที่สุด d ที่ตรงตามทั้งสองขีดจำกัด
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa และ τₓᵧ = 60 MPa โดย σz = 0 จงหาความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ τabs ที่จุดนั้น (พิจารณาทุกระนาบในสามมิติ)
σx = −20 MPaσy = 110 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = −60 MPa, σᵧ = 100 MPa และ τₓᵧ = −30 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือน τθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 50° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x (เป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
τθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากอะลูมิเนียม (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 50 mm, E = 70 GPa) ทั้งสองยาว 300 mm และถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็งด้วยแรง 80 kN จงหาระยะหด δ
P = 80 kNแท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPaท่อ: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความยืดรวม δ
P = 60 kNช่วงที่ 1: Ø25 mm, 2 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø12 mm, 1.5 m, อะลูมิเนียม (E = 70 GPa)
δ = mm
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 1.5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)d = 25 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นทั้งสองปลาย ต้องรับ 85 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 2 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d
P = 85 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)
d = mm
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 100 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 10 kN/m มีตัวหน่วงหนืดให้อัตราส่วนการหน่วง 0.6 หาความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง fd ของการสั่นอิสระใน Hz
m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0.6
fd = Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 50 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 60 kN/m และ k₂ = 30 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 50 kgk1 = 60 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: T2 = 39.93 N·m
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
แรงบิดของมอเตอร์
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m
แรงบิดขาออก
T2 = 24.7·25/15·0.97 = 39.93 N·m
คำตอบ
T2 = 39.93 N·m
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nc = 411.4 rpm
ชุดเฟืองดาวเคราะห์: ความเร็วของเฟืองดวงอาทิตย์ เฟืองวงแหวน และโครงพา สัมพันธ์กันด้วยสมการวิลลิส (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: เมื่อมองจากโครงพา ชุดเฟืองนี้เป็นขบวนเฟืองธรรมดาที่เฟืองดาวเคราะห์เป็นเฟืองกลาง การยึดชิ้นส่วนหนึ่งไว้ทำให้ชุดเฟืองกลายเป็นตัวลดความเร็วที่มีอัตราส่วนเดียว
จำนวนฟันของเฟืองวงแหวน
Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·18 = 60
สมการวิลลิสเมื่อยึดเฟืองวงแหวน
ตั้ง nr = 0 แล้วแก้หาความเร็วของโครงพา
(1440 − nc)/(0 − nc) = −60/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1440·24/84 = 411.4 rpm
คำตอบ
nc = 411.4 rpm
โครงพาหมุนในทิศทางเดียวกับเฟืองดวงอาทิตย์
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φ = 4.489 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
มุมบิด
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·613592) = 0.07835 rad
φ = 0.07835·180/π = 4.489°
คำตอบ
φ = 4.489°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: d = 48.59 mm
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
แรงบิด
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งแรง
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางจากความแข็งเกร็ง
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·190986/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 48.59 mm
เส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็นตัวกำหนด
ทั้งสองขีดจำกัดต้องเป็นจริง ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางที่มากกว่าเป็นตัวกำหนด
d = max(26.89, 48.59) = 48.59 mm
คำตอบ
d = 48.59 mm
ในที่นี้ความแข็งเกร็งเป็นตัวกำหนด
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τabs = 88.46 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ในสามมิติ ความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์คือ (σmax − σmin)/2 จากความเค้นหลักทั้งสาม ในความเค้นระนาบ ตัวที่สามเป็นศูนย์
ความเค้นหลักในระนาบ
C = 45 MPa, R = √((−65)² + 60²) = 88.46 MPa
σ1 = 133.5 MPa, σ2 = −43.46 MPa, σz = 0
วงกลมที่ใหญ่ที่สุดในสามวง
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(176.9, 133.5, 43.46)/2 = 88.46 MPa
คำตอบ
τabs = 88.46 MPa
ในที่นี้ σ₁ และ σ₂ มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้นค่าสูงสุดในระนาบ R ก็เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ด้วย
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: τθ = 83.99 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
τθ = −−80·0.9848 + −30·−0.1736 = 83.99 MPa
คำตอบ
τθ = 83.99 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 0.0319 mm
วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า Pi = P·EiAi/ΣEA และ σi = Ei·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L
พื้นที่
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
ความแข็งตามแนวแกนรวม
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·9346 = 7.524 × 10⁸ N
ระยะหด
δ = 80000·300/7.524 × 10⁸ = 0.0319 mm
คำตอบ
δ = 0.0319 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 13.81 mm
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 122.2 MPa
σ2 = 530.5 MPa
รวมความยืดของแต่ละช่วง
δ1 = σ1L1/E1 = 122.2·2000/100000 = 2.445 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 530.5·1500/70000 = 11.37 mm
δ = δ1 + δ2 = 13.81 mm
คำตอบ
δ = 13.81 mm
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 12.02 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1050² = 12016 N = 12.02 kN
คำตอบ
Pcr = 12.02 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: d = 63.04 mm
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ
Pcr = n·P = 2·85000 = 170000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63.04 mm
คำตอบ
d = 63.04 mm
ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 190.4 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fd = 1.273 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง
ωn = √(10000/100) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
ความถี่ธรรมชาติที่ถูกหน่วง
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.6²) = 1.273 Hz
คำตอบ
fd = 1.273 Hz
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 6.752 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 60 + 30 = 90 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(90000/50) = 42.43 rad/s
fn = 42.43/(2π) = 6.752 Hz
คำตอบ
fn = 6.752 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design