การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 7.5 kW หมุนที่ 2900 rpm ขับเฟืองเล็กที่มี 30 ฟัน ซึ่งขบกับเฟืองที่มี 36 ฟัน ไม่คิดการสูญเสีย หาแรงบิด T₁ บนเพลาของมอเตอร์

P = 7.5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 30N₂ = 36η = 100%

T₁ = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

สายพานเปิดเชื่อมพูลเลย์ขับ 160 mm ที่ 1440 rpm กับพูลเลย์ 200 mm ศูนย์กลางห่างกัน 1000 mm สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานคือ 0.25 และแรงตึงด้านตึงต้องไม่เกิน 600 N จงหากำลังสูงสุด P ที่สายพานส่งได้โดยไม่ลื่น ในหน่วย kW (ไม่คิดผลของแรงเหวี่ยงหนีศูนย์)

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 200 mmC = 1000 mmμ = 0.25T₁ = 600 N

P = kW

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลาตันอะลูมิเนียมถูกยึดติดกับผนังและถูกบิดด้วยแรงบิด T ที่ปลายอิสระ หามุมบิด φ ของปลายอิสระ ในหน่วยองศา

T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 15 kW ที่ 500 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

จุดหนึ่งในแผ่นบางอยู่ในสภาวะความเค้นระนาบ: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0) วัสดุมีความเค้นคราก 250 MPa จงหาตัวประกอบความปลอดภัย n ต่อการครากตามเกณฑ์ฟอน มิเซส (พลังงานการบิดเบี้ยว)

σ_x = −30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งเหล็กกล้า ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 105 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

แท่งเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm, E = 200 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 250 MPa) อยู่ภายในท่อที่ทำจากบรอนซ์ (เส้นผ่านศูนย์กลางนอก 120 mm, เส้นผ่านศูนย์กลางใน 70 mm, E = 110 GPa, ความเค้นที่ยอมให้ 50 MPa) ทั้งสองถูกอัดร่วมกันระหว่างแผ่นแข็ง จงหาโหลดสูงสุด P_max

แท่ง: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaท่อ: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 1.5 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 25 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 120 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 50 mm ตามด้วยยอด 23.4 mm หนึ่งรอบถัดมา หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 50 mmx₁ = 23.4 mmn = 1

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 25 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 50 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 25 kN/m หาค่าความแข็งสมมูล k_eq ของระบบสปริงใน kN/m

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T₁ = 24.7 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

แรงบิดของมอเตอร์

ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/303.7 = 24.7 N·m

คำตอบ

T₁ = 24.7 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: P = 3.905 kW

ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = e^μθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง

มุมโอบ

θ = 3.102 rad

แรงตึงด้านหย่อน

e^μθ = e^0.7754 = 2.171, T₂ = 600/2.171 = 276.3 N

กำลัง

P = (600 − 276.3)·12.06 = 3.905 kW

คำตอบ

P = 3.905 kW

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: φ = 5.542 °

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

มุมบิด

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·79522) = 0.09673 rad

φ = 0.09673·180/π = 5.542°

คำตอบ

φ = 5.542°

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 4.827 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·40/2.374 × 10⁶ = 4.827 MPa

คำตอบ

τ_max = 4.827 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 18.03 MPa

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((60 − 30)/2)² + 10²) = 18.03 MPa

คำตอบ

τ_max = 18.03 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: n = 2.887

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R เกณฑ์การคราก: ฟอน มิเซสทำนายว่าเกิดการครากเมื่อ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) ถึง σ_Y ส่วนเทรสกาเมื่อความเค้นเฉือนสูงสุดสัมบูรณ์ถึง σ_Y/2

ความเค้นหลัก

C = −45 MPa, R = 42.72 MPa

σ₁ = −2.28 MPa, σ₂ = −87.72 MPa, σ₃ = 0

ฟอน มิเซส

σ_vM = √((−2.28)² − (−2.28)·(−87.72) + (−87.72)²) = 86.6 MPa

n = 250/86.6 = 2.887

คำตอบ

n = 2.887

n > 1 หมายความว่าจุดนั้นไม่คราก เกณฑ์เทรสกาอนุรักษ์นิยมกว่าฟอน มิเซสเล็กน้อย

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 4642 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 105·1000/113.1 = 928.4 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 928.4/200000 = 0.004642 = 4642 µε

คำตอบ

ε = 4642 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: P_max = 417.7 kN

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

พื้นที่

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

ความแข็งตามแนวแกนรวม

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N

ความเครียดที่เป็นตัวกำหนด

ε = min(0.00125, 0.0004545) = 0.0004545 (บรอนซ์)

โหลดสูงสุด

P_max = 0.0004545·9.189 × 10⁸ = 417689 N = 417.7 kN

คำตอบ

P_max = 417.7 kN

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 4.205 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 2·1500 = 3000 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

คำตอบ

P_cr = 4.205 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 152.1 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 152.1 mm

คำตอบ

d = 152.1 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 315.6 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.12

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/1)·ln(50/23.4) = 0.7593

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7593/√(39.48 + 0.5765) = 0.12

คำตอบ

ζ = 0.12

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: k_eq = 16.67 kN/m

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/50 + 1/25 → k_eq = 50·25/(50 + 25) = 16.67 kN/m

คำตอบ

k_eq = 16.67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design