เฟืองและชุดเฟือง
- เฟืองขบกัน
- n1·N1 = n2·N2
- แรงบิด
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- กำลัง
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- ชุดเฟืองประกอบ
- อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น
การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
การบิดของเพลา
- ความเค้นเฉือน
- τ = T·r/J
- เพลาตัน
- J = πd⁴/32
- เพลากลวง
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- มุมบิด
- φ = TL/(GJ)
- กำลัง
- P = T·ω = 2πnT/60
วิธีการ
- หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
- ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
- มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
- ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60
วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
- ศูนย์กลาง
- C = (σx + σy)/2
- รัศมี
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลัก
- σ1,2 = C ± R
- ทิศทางหลัก
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- พื้นเอียง
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
วิธีการ
- คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
- คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
- มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
- ความเค้นแนวฉาก
- σ = F/A
- ความเครียด
- ε = ΔL/L
- กฎของฮุก
- σ = E·ε
- ความยืด
- ΔL = FL/(EA)
- ความเครียดจากความร้อน
- εT = α·ΔT
การโก่งเดาะของเสา
- น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์
- Pcr = π²EI/(KL)²
- ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล
- K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
- ความเค้นวิกฤต
- σcr = Pcr/A
- ความเพรียว
- λ = KL/r, r = √(I/A)
การสั่นสะเทือนเชิงกล
- ความถี่ธรรมชาติ
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- จากระยะแอ่นสถิต
- ωn = √(g/δst)
- การหน่วงวิกฤต
- cc = 2√(km) = 2mωn
- อัตราส่วนการหน่วง
- ζ = c/cc
- ความถี่ที่ถูกหน่วง
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- ลอการิทึมดีเครเมนต์
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- สปริงต่อขนาน
- k = k1 + k2
- สปริงต่ออนุกรม
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2โจทย์ฝึก
1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง
สายพานวิ่งบนพูลเลย์ขับ 150 mm ที่ 1450 rpm แรงตึงคือ 800 N ที่ด้านตึงและ 400 N ที่ด้านหย่อน จงหากำลัง P ที่ส่ง ในหน่วย kW
d1 = 150 mmn1 = 1450 rpmT1 = 800 NT2 = 400 N
P = kW
2.เฟืองและชุดเฟืองยาก
ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (12 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 1450 rpm ขับเฟือง B (32 ฟัน) เฟือง C (20 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (45 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก nout
nin = 1450 rpmA = 12B = 32C = 20D = 45
nout = rpm
3.การบิดของเพลาปานกลาง
เพลา เหล็กกล้า ตันแบบขั้นบันไดยึดที่ A ท่อน AB มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 75 mm และยาว 0.8 m ท่อน BC มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 mm และยาว 1.2 m แรงบิด 400 N·m กระทำที่ปลายอิสระ C จงหามุมบิด φC ของปลาย C ในหน่วยองศา
T = 400 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 20 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.การบิดของเพลายาก
เพลา เหล็กกล้า ตันเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 mm ยึดกับผนังแข็งเกร็งที่ปลายทั้งสอง A และ B แรงบิด 2000 N·m กระทำที่ C ห่างจาก A 0.8 m และห่างจาก B 3 m จงหาแรงบิดปฏิกิริยา TA ที่ผนัง A
d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 0.8 mb = 3 m
TA = N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง
จุดหนึ่งมี σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa และ τₓᵧ = −10 MPa (แรงดึงเป็นบวก) จงหามุม θs ระหว่าง −90° ถึง 90° จากแกน x ถึงเส้นแนวฉากของระนาบที่ความเค้นเฉือนมีค่าบวกสูงสุด +R (เฉือนเป็นบวกในทิศเดียวกับ τₓᵧ)
σx = −30 MPaσy = 90 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก
จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นแนวฉาก σθ บนระนาบที่เส้นตั้งฉากหมุนไป 50° ทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x
σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง
หาความยืด δ ของแท่งเหล็กกล้าภายใต้แรงตามแนวแกน
P = 85 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก
แท่งขั้นบันไดถูกยึดติดกับผนังและรับแรงที่ปลายอิสระ หาความเค้นแนวฉากสูงสุด σmax ในแท่ง
P = 35 kNช่วงที่ 1: Ø40 mm, 0.5 m, ทองเหลือง (E = 100 GPa)ช่วงที่ 2: Ø20 mm, 0.5 m, ทองแดง (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ Pcr
L = 6 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 30 mm
Pcr = kN
10.การโก่งเดาะของเสายาก
เสายาว L ทำจากเหล็กกล้า โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน หาค่าความเพรียวและความเค้นวิกฤต σcr จากสูตรของออยเลอร์
L = 3 mE = 200 GPa (เหล็กกล้า)d = 20 mm
σcr = MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง
มวล 40 kg ถูกรองรับด้วยสปริงที่มีค่าความแข็ง 50 kN/m และตัวหน่วงหนืดที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง 230 N·s/m หาอัตราส่วนการหน่วง ζ
m = 40 kgk = 50 kN/mc = 230 N·s/m
ζ =
12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก
มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่วางเคียงกัน (ขนาน) ที่มีค่าความแข็ง k₁ = 15 kN/m และ k₂ = 30 kN/m มวลอยู่ในแนวระดับ ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ fn ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz
m = 10 kgk1 = 15 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3สารละลาย
1.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: P = 4.555 kW
ระบบขับด้วยสายพาน: เมื่อไม่มีการลื่น พูลเลย์ทั้งสองมีความเร็วที่ขอบเท่ากัน v = π·d·n/60 ดังนั้น n₁·d₁ = n₂·d₂ และอัตราส่วนความเร็วคือ d₂/d₁ การลื่น s ทำให้พูลเลย์ตามช้าลงเล็กน้อย: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s) กำลังที่ส่งคือ P = (T₁ − T₂)·v โดย T₁ คือแรงตึงด้านตึง และ T₂ ด้านหย่อน แรงเสียดทานจำกัดอัตราส่วนของแรงตึง: T₁/T₂ = eμθ โดย θ คือมุมโอบเป็นเรเดียนบนพูลเลย์ที่เล็กกว่า สำหรับสายพานเปิด θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) โดย C คือระยะห่างระหว่างศูนย์กลาง
ความเร็วสายพาน
v = 11.39 m/s
กำลัง
P = (800 − 400)·11.39 = 4555 W = 4.555 kW
คำตอบ
P = 4.555 kW
2.เฟืองและชุดเฟือง
คำตอบ: nout = 241.7 rpm
ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60
ขั้นแรก
nB = 1450·12/32 = 543.8 rpm = nC
ขั้นที่สอง
nout = 543.8·20/45 = 241.7 rpm
คำตอบ
nout = 241.7 rpm
อัตราทดรวม = 6 : 1
3.การบิดของเพลา
คำตอบ: φC = 21.96 °
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω
โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
มุมบิดของแต่ละท่อน
T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 400000·800/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.001288 rad
φBC = 400000·1200/(80000·15708) = 0.382 rad
มุมบิดรวม
φC = 0.001288 + 0.382 = 0.3833 rad = 21.96°
คำตอบ
φC = 21.96°
4.การบิดของเพลา
คำตอบ: TA = 1579 N·m
การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τmax = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(do⁴ − di⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω เมื่อยึดทั้งสองปลาย สถิตยศาสตร์ให้เพียง TA + TB = T₀ สมการที่สองคือความสอดคล้อง (มุมบิดของสองส่วนเท่ากันที่หน้าตัดที่รับแรง)
สมดุลและความสอดคล้อง
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/3.8 = 1579 N·m
TB = 2000·0.8/3.8 = 421.1 N·m
คำตอบ
TA = 1579 N·m
5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: θs = 49.73 °
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลม
บนวงกลมของมอร์ จุดบนสุด (+R) ห่าง 90° จากจุดหลัก σ₁ ส่วนบนชิ้นส่วนย่อยคือ 45°
cos 2θs = −10/60.83 = −0.1644, sin 2θs = −(−60)/60.83 = 0.9864
2θs = atan2(60, −10) = 99.46°
มุมบนชิ้นส่วน
θs = 49.73°
ตรวจสอบ: θs − θp = 49.73 − (−85.27) = 135°
คำตอบ
θs = 49.73°
มุมบวกคือทวนเข็มนาฬิกา
6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น
คำตอบ: σθ = 28.35 MPa
การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
สมการการแปลง
σθ = 35 + 95·−0.1736 + 10·0.9848 = 28.35 MPa
คำตอบ
σθ = 28.35 MPa
7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: δ = 9.395 mm
กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)
ความเค้น
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/113.1 = 751.6 MPa
ความเครียด (กฎของฮุก)
E for เหล็กกล้า = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 751.6/200000 = 0.003758 = 3758 µε
ความยืด
δ = ε·L = 0.003758·2500 mm = 9.395 mm
คำตอบ
δ = 9.395 mm
8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน
คำตอบ: σmax = 111.4 MPa
ชิ้นส่วนรับแรงตามแนวแกน: แต่ละช่วงที่มีหน้าตัดคงที่เป็นไปตาม δ = PL/(AE) สำหรับชิ้นส่วนที่ต่ออนุกรมกัน ความยืดจะบวกกัน
แรงเท่ากันทั้งสองช่วง
ปลายอิสระรับแรง P ดังนั้นทุกส่วนของแท่งมีแรงตามแนวแกน P เท่ากัน มีเพียงพื้นที่และวัสดุที่เปลี่ยนไป
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 111.4 MPa
ความเค้นสูงสุด
ช่วงที่บางกว่ามีพื้นที่น้อยกว่า จึงรับความเค้นมากกว่า
σmax = 111.4 MPa
คำตอบ
σmax = 111.4 MPa
9.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: Pcr = 4.449 kN
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
ความยาวประสิทธิผล
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
น้ำหนักวิกฤต
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4.449 kN
คำตอบ
Pcr = 4.449 kN
10.การโก่งเดาะของเสา
คำตอบ: σcr = 11.19 MPa
การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ Pcr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด
หน้าตัดกลมมี I เท่ากันรอบทุกแกน
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
รัศมีไจเรชันและความเพรียว
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/5 = 420
ความเค้นวิกฤต
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11.19 MPa
คำตอบ
σcr = 11.19 MPa
11.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: ζ = 0.08132
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
การหน่วงวิกฤต
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m
อัตราส่วนการหน่วง
ζ = c/cc = 230/2828 = 0.08132
คำตอบ
ζ = 0.08132
ζ < 1 ระบบจึงหน่วงน้อยกว่าวิกฤตและสั่นขณะที่ลดลง
12.การสั่นสะเทือนเชิงกล
คำตอบ: fn = 10.68 Hz
การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ωn = √(k/m) ใน rad/s และ fn = ωn/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/cc โดยการหน่วงวิกฤต cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ωd = ωn·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂
ค่าความแข็งสมมูล
สปริงที่วางเคียงกันมีระยะแอ่นเท่ากันและแรงบวกกัน ค่าความแข็งจึงบวกกันตรง ๆ: k = k1 + k2
keq = 15 + 30 = 45 kN/m
ความถี่ธรรมชาติ
ωn = √(45000/10) = 67.08 rad/s
fn = 67.08/(2π) = 10.68 Hz
คำตอบ
fn = 10.68 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design