การออกแบบเครื่องจักรกล: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เฟืองและชุดเฟือง

เฟืองขบกัน: n₁·N₁ = n₂·N₂
แรงบิด: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
กำลัง: P = T·ω, ω = 2π·n/60
ชุดเฟืองประกอบ: อัตราทดรวม = ผลคูณของอัตราทดแต่ละขั้น

การบิดของเพลา

ความเค้นเฉือน: τ = T·r/J
เพลาตัน: J = πd⁴/32
เพลากลวง: J = π(D⁴ − d⁴)/32
มุมบิด: φ = TL/(GJ)
กำลัง: P = T·ω = 2πnT/60

วิธีการ

หาโมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว: J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน
ความเค้นเฉือนที่ผิว: τ = T·r/J โดย r คือรัศมีภายนอก
มุมบิด: φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน
ถ้าโจทย์ให้กำลัง ให้หาแรงบิดก่อนด้วย P = T·ω, ω = 2πn/60

วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

ศูนย์กลาง: C = (σ_x + σ_y)/2
รัศมี: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
ความเค้นหลัก: σ_1,2 = C ± R
ทิศทางหลัก: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
พื้นเอียง: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

วิธีการ

คำนวณศูนย์กลางของวงกลมมอร์: C = (σx + σy)/2
คำนวณรัศมี: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R
มุมบนวงกลมเป็นสองเท่าของมุมบนชิ้นส่วน: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)

ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

ความเค้นแนวฉาก: σ = F/A
ความเครียด: ε = ΔL/L
กฎของฮุก: σ = E·ε
ความยืด: ΔL = FL/(EA)
ความเครียดจากความร้อน: ε_T = α·ΔT

การโก่งเดาะของเสา

น้ำหนักวิกฤตของออยเลอร์: P_cr = π²EI/(KL)²
ตัวประกอบความยาวประสิทธิผล: K = 1 หมุด–หมุด, 0.5 ยึดแน่น–ยึดแน่น, 0.7 ยึดแน่น–หมุด, 2 ยึดแน่น–อิสระ
ความเค้นวิกฤต: σ_cr = P_cr/A
ความเพรียว: λ = KL/r, r = √(I/A)

การสั่นสะเทือนเชิงกล

ความถี่ธรรมชาติ: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
จากระยะแอ่นสถิต: ω_n = √(g/δ_st)
การหน่วงวิกฤต: c_c = 2√(km) = 2mω_n
อัตราส่วนการหน่วง: ζ = c/c_c
ความถี่ที่ถูกหน่วง: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
ลอการิทึมดีเครเมนต์: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
สปริงต่อขนาน: k = k₁ + k₂
สปริงต่ออนุกรม: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2โจทย์ฝึก

1.เฟืองและชุดเฟืองปานกลาง

มอเตอร์ 0.55 kW ที่ 960 rpm ขับเฟืองตัวหนอนที่มี 4 เกลียว เฟืองหนอนมี 48 ฟัน และระบบขับมีประสิทธิภาพ 65% จงหาแรงบิดขาออก T_w ที่เพลาของเฟืองหนอน

z = 4N_w = 48n = 960 rpmP = 0.55 kWη = 65%

T_w = N·m

2.เฟืองและชุดเฟืองยาก

ในชุดเฟืองประกอบ เฟือง A (72 ฟัน) บนเพลาขาเข้าหมุนที่ 2900 rpm ขับเฟือง B (80 ฟัน) เฟือง C (24 ฟัน) ติดอยู่กับเพลาเดียวกับ B และขับเฟือง D (80 ฟัน) บนเพลาขาออก หาความเร็วรอบขาออก n_out

n_in = 2900 rpmA = 72B = 80C = 24D = 80

n_out = rpm

3.การบิดของเพลาปานกลาง

เพลากลวงต้องรับแรงบิด 750 N·m เส้นผ่านศูนย์กลางภายในต้องเป็น 0.8 เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และความเค้นเฉือนต้องไม่เกิน 40 MPa จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกที่น้อยที่สุด d_o

T = 750 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.การบิดของเพลายาก

เพลากลวงส่งกำลัง 15 kW ที่ 1000 rpm หาความเค้นเฉือนสูงสุด τ_max ในเพลา

P = 15 kWN = 1000 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นปานกลาง

จุดหนึ่งในชิ้นส่วนที่รับน้ำหนักมี σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa และ τₓᵧ = 10 MPa (ความเค้นดึงเป็นบวก) หาความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุด τ_max

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้นยาก

ถังทรงกระบอกผนังบางเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1000 mm ความหนาผนัง 15 mm บรรจุแก๊สที่ความดันเกจ 3 MPa ทำจากแผ่นเชื่อมตามรอยเชื่อมเกลียวที่ทำมุม 55° กับแกนของทรงกระบอก จงหาความเค้นตั้งฉาก σ_n ที่กระทำข้ามรอยเชื่อม

D = 1000 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนปานกลาง

หาความเครียดตามแนวแกน ε ในแท่งอะลูมิเนียม ในหน่วยไมโครสเตรน (µε = 10⁻⁶)

P = 65 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกนยาก

ท่อนเหล็กกล้า (เส้นผ่านศูนย์กลาง 40 mm, ยาว 600 mm, E = 200 GPa) และท่อนที่ทำจากทองเหลือง (เส้นผ่านศูนย์กลาง 50 mm, ยาว 500 mm, E = 100 GPa) ต่อปลายชนปลายและยึดระหว่างผนังแข็งสองด้าน โหลดตามแนวแกน 80 kN กระทำที่รอยต่อไปทางท่อนที่ 2 จงหาขนาดของความเค้น σ₂ ในท่อนที่ 2

ท่อนที่ 1: เหล็กกล้า, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaท่อนที่ 2: ทองเหลือง, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.การโก่งเดาะของเสาปานกลาง

เสายาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและยึดด้วยหมุดที่ปลายบน ใช้สูตรของออยเลอร์หาน้ำหนักวิกฤตที่ทำให้โก่งเดาะ P_cr

L = 3 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.การโก่งเดาะของเสายาก

เสากลมตันยาว L ทำจากอะลูมิเนียม โดยยึดแน่นที่ฐานและอิสระที่ปลายบน ต้องรับ 45 kN ด้วยตัวประกอบความปลอดภัย 3 ต่อการโก่งเดาะ หาเส้นผ่านศูนย์กลางที่เล็กที่สุด d

P = 45 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (อะลูมิเนียม)

d = mm

11.การสั่นสะเทือนเชิงกลปานกลาง

ในการทดสอบการสั่นอิสระของระบบมวล–สปริงที่มีการหน่วง ยอดการกระจัด 30 mm ตามด้วยยอด 11 mm หลังจากนั้น 4 รอบ หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

x₀ = 30 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

12.การสั่นสะเทือนเชิงกลยาก

มวล 10 kg แขวนจากสปริงสองตัวที่ต่อปลายต่อปลาย (อนุกรม): สปริงบนมี k₁ = 50 kN/m และสปริงล่างมี k₂ = 40 kN/m ไม่ต้องคำนึงถึงการหน่วงและมวลของสปริง จงหาความถี่ธรรมชาติ f_n ของการสั่นในแนวดิ่งในหน่วย Hz

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3สารละลาย

1.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: T_w = 42.67 N·m

ชุดเฟือง: เฟืองที่ขบกันมีความเร็วที่ฟันเท่ากัน ดังนั้น n₁·N₁ = n₂·N₂ เฟืองที่มีฟันน้อยกว่าหมุนเร็วกว่า เฟืองบนเพลาเดียวกันหมุนด้วยความเร็วเท่ากัน กำลังถูกส่งต่อ (หักการสูญเสีย) แรงบิดจึงเพิ่มเมื่อความเร็วลดลง: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η และ P = T·ω โดย ω = 2π·n/60

ความเร็วของเฟืองหนอน

n_w = n·z/N_w = 960·4/48 = 80 rpm

แรงบิดขาออก

ω_w = 2π·80/60 = 8.378 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.65·550/8.378 = 42.67 N·m

คำตอบ

T_w = 42.67 N·m

2.เฟืองและชุดเฟือง

คำตอบ: n_out = 783 rpm

ขั้นแรก

n_B = 2900·72/80 = 2610 rpm = n_C

ขั้นที่สอง

n_out = 2610·24/80 = 783 rpm

คำตอบ

n_out = 783 rpm

อัตราทดรวม = 3.704 : 1

3.การบิดของเพลา

คำตอบ: d_o = 54.48 mm

การบิดของเพลากลม: ความเค้นเฉือนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงจากศูนย์ที่ศูนย์กลางถึง τ_max = T·r/J ที่ผิว โดย J = πd⁴/32 สำหรับเพลาตัน และ J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 สำหรับเพลากลวง มุมบิดคือ φ = TL/(GJ) เป็นเรเดียน กำลังและแรงบิดสัมพันธ์กันด้วย P = T·ω

เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกจากความเค้นที่ยอมให้

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0.5904)) = 54.48 mm

d_i = 0.8·54.48 = 43.59 mm

คำตอบ

d_o = 54.48 mm

เพลาตันต้องมี d = 45.71 mm เพลากลวงใหญ่กว่าเล็กน้อยแต่เบากว่ามาก

4.การบิดของเพลา

คำตอบ: τ_max = 5.72 MPa

แรงบิด

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้วของพื้นที่

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

ความเค้นเฉือนสูงสุด

τ_max = T·(d_o/2)/J = 143239·30/751193 = 5.72 MPa

คำตอบ

τ_max = 5.72 MPa

5.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: τ_max = 31.62 MPa

รัศมีของวงกลมมอร์

τ_max = R = √(((60 − 120)/2)² + 10²) = 31.62 MPa

คำตอบ

τ_max = 31.62 MPa

6.วงกลมของมอร์และการแปลงความเค้น

คำตอบ: σ_n = 66.45 MPa

การแปลงความเค้นระนาบ: บนระนาบที่หมุนไป θ σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ วงกลมของมอร์แสดงทุกระนาบพร้อมกัน ศูนย์กลางอยู่ที่ C = (σₓ + σᵧ)/2 และรัศมีคือ R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) ความเค้นหลักคือ C ± R และความเค้นเฉือนในระนาบที่มากที่สุดคือ R ทรงกระบอกผนังบาง: ความเค้นตามเส้นรอบวง σ_h = pr/t และความเค้นตามแนวแกน σ_a = pr/(2t) ทั้งสองคือความเค้นหลักในผนัง

ความเค้นในผนัง

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 3·500/15 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

แปลงไปยังรอยเชื่อม

ให้ x ตามแนวแกน (σ_a) และ y รอบเส้นรอบวง (σ_h) เส้นแนวฉากของรอยเชื่อมทำมุม 90° − α กับแกน

σ_n = 50·sin²55° + 100·cos²55° = 66.45 MPa

คำตอบ

σ_n = 66.45 MPa

7.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: ε = 2956 µε

กฎของฮุก: ในช่วงยืดหยุ่น σ = E·ε เมื่อรวมกับ σ = P/A และ ε = δ/L จะได้ δ = PL/(AE)

ความเค้น

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa

ความเครียด (กฎของฮุก)

E for อะลูมิเนียม = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 206.9/70000 = 0.002956 = 2956 µε

คำตอบ

ε = 2956 µε

8.ความเค้นและความเครียดตามแนวแกน

คำตอบ: σ₂ = 19.71 MPa

วัสดุสองชนิด: แบบอนุกรม (ต่อกันทีละส่วน) ทุกส่วนรับแรงเท่ากันและการยืดตัวบวกกัน: δ = P·Σ L/(E·A) แบบขนาน (วางเคียงกันระหว่างแผ่นแข็ง) ทั้งสองส่วนหดเท่ากัน ดังนั้นความเครียดเท่ากัน: ส่วนที่แข็งกว่ารับสัดส่วนมากกว่า P_i = P·E_iA_i/ΣEA และ σ_i = E_i·ε แท่งที่ยึดระหว่างผนังแข็งสองด้านโดยมีโหลดที่รอยต่อเป็นโครงสร้างอินดีเทอร์มิเนต: สองส่วนแบ่งโหลดตามสัดส่วนความแข็ง k = EA/L

ความแข็ง

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

ส่วนแบ่งของท่อนที่ 2

F₂ = 80000·392699/811578 = 38710 N

ความเค้น

σ₂ = 38710/1963 = 19.71 MPa (แรงอัด)

คำตอบ

σ₂ = 19.71 MPa

9.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: P_cr = 50.13 kN

การโก่งเดาะของออยเลอร์: เสาเพรียวจะไม่เสถียรที่ P_cr = π²EI/(KL)² โดย KL คือความยาวประสิทธิผล: K = 1 สำหรับหมุด–หมุด, 2 สำหรับยึดแน่น–อิสระ, 0.7 สำหรับยึดแน่น–หมุด และ 0.5 สำหรับยึดแน่น–ยึดแน่น เสาจะโก่งเดาะรอบแกนที่มี I น้อยที่สุด สูตรนี้ใช้ได้กับเสาเพรียวซึ่งความเค้นวิกฤตยังต่ำกว่าความเค้นครากของวัสดุ

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ที่น้อยที่สุด

สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะโก่งเดาะรอบแกนอ่อน โดยใช้ด้านที่สั้นกว่ายกกำลังสาม

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

ความยาวประสิทธิผล

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

น้ำหนักวิกฤต

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2100² = 50131 N = 50.13 kN

คำตอบ

P_cr = 50.13 kN

10.การโก่งเดาะของเสา

คำตอบ: d = 141.3 mm

น้ำหนักวิกฤตที่ต้องการ

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

แก้หาเส้นผ่านศูนย์กลาง

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 141.3 mm

คำตอบ

d = 141.3 mm

ตรวจสอบ: ค่าความเพรียว KL/r คือ 283.2 ดังนั้นเสาเป็นเสาเพรียวและใช้สูตรออยเลอร์ได้

11.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: ζ = 0.03989

การสั่นอิสระของระบบมวล–สปริง: ความถี่ธรรมชาติแบบไม่มีการหน่วงคือ ω_n = √(k/m) ใน rad/s และ f_n = ω_n/(2π) ใน Hz ตัวหน่วงหนืด c ให้อัตราส่วนการหน่วง ζ = c/c_c โดยการหน่วงวิกฤต c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n ระบบที่หน่วงน้อยกว่าวิกฤต (ζ < 1) สั่นที่ ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) สปริงต่อขนานบวกกัน k = k₁ + k₂ สปริงต่ออนุกรมบวกกันแบบส่วนกลับ 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ลอการิทึมดีเครเมนต์

δ = (1/4)·ln(30/11) = 0.2508

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989

คำตอบ

ζ = 0.03989

12.การสั่นสะเทือนเชิงกล

คำตอบ: f_n = 7.503 Hz

ค่าความแข็งสมมูล

สปริงที่ต่ออนุกรมรับแรงเท่ากันและระยะแอ่นบวกกัน จึงรวมกันแบบส่วนกลับ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

1/k_eq = 1/50 + 1/40 → k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22.22 kN/m

ความถี่ธรรมชาติ

ω_n = √(22222/10) = 47.14 rad/s

f_n = 47.14/(2π) = 7.503 Hz

คำตอบ

f_n = 7.503 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design